ellipse,rhombus

17.02.2007, 09:17

elfchen

ellipse,rhombus

Beiespiel:
Einer Ellipse mit a = 4 und b = 1 ist der Rhombus mit kleinstem Umfang einzuschreiben. Zeige, dass der Inkreis dieses Rhombus und die Ellipse flächengleich sind.

HB ist ja: U = 4*a
NB ist : $\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{1}=1 \end{eqnarray*}$

wie forme ich die Nebenbedingung so um, dass ich sie in die Hauptbedingung einsetzen kann, weil ich muss ja dann Differenzieren und Null setzen um den minimalen Unfang zu bekommen?!

17.02.2007, 11:33

mYthos

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Hallo!

Die Seiten des Rhombus sind Tangenten an die Ellipse! Im Punkt (x1;y1) der Ellipse lautet diese

$\begin{eqnarray*} b^2xx_1 + a^2yy_1 = a^2b^2 \end{eqnarray*}$ bzw.

$\begin{eqnarray*} xx_1 + 16yy_1 = 16 \end{eqnarray*}$

Diese nun mit den Achsen schneiden -> (c;0) und (0;d), c und d sind in x1, y1 ausgedrückt, und eine Seite des Rhombus ist dann $\begin{eqnarray*} s = \sqrt{c^2 + d^2} \end{eqnarray*}$

Nebenbedingung: $\begin{eqnarray*} x_1^2 + 16y_1^2 = 16 \end{eqnarray*}$
_________________________________________

Alternativer Weg:

Eine der Tangenten nimmst du in der Achsen-Abschnittsform als

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{c} + \frac{y}{d} = 1 \end{eqnarray*}$

an. c ist der Abschnitt auf der x-Achse und d jener auf der y-Achse. Die anderen drei Tangenten liegen symmetrisch dazu. Die Länge einer Seite des Rhombus ist demnach

$\begin{eqnarray*} s = \sqrt{c^2 + d^2} \end{eqnarray*}$

und sein Umfang u = 4s, das ist Hauptbedingung. Die Nebenbedingung wird aus der Tatsache erstellt, dass die o.a. Gerade die Ellipse berührt. Dazu verwendest du die Berührbedingung:

$\begin{eqnarray*} a^2k^2 + b^2 = d^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 16k^2 + 1 = d^2 \end{eqnarray*}$

k .. Steigung der Tangente. Diese Steigung ist hier

$\begin{eqnarray*} k = -\frac{d}{c} \end{eqnarray*}$

somit ist wird dies in die letzte Gleichung eingesetzt und daraus eine Nebenbedingung für c, d.

mY+

18.02.2007, 09:12

elfchen

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danke für die hilfe, hat mir wirklich geholfen, nur eine frage hätte ich noch!
wenn ich k in die Berührbedingung einsetze bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} 16*(\frac{-d}{c})+1 = d² \end{eqnarray*}$
also habe ich ja c und d enthalten.
wenn ich nun diese Nebenbedingung für das d² in die Hauptbedingung einsetze und differenziere, bleiben d und c über, muss ich dann Null setzen und einmal nach c und einmal nach d ausrechnen?
da würde ich herausbekommen:
c= $\begin{eqnarray*} 2*\sqrt{d} \end{eqnarray*}$
d = $\begin{eqnarray*} \frac{c²}{4} \end{eqnarray*}$

muss ich nun das c ins d einsetzen, dann habe ich ja nur mehr d und kann es ausrechnen und das selbe mit d in c machen??

18.02.2007, 12:15

mYthos

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Zitat:

Original von elfchen
...
wenn ich k in die Berührbedingung einsetze bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} 16*(\frac{-d}{c})+1 = d² \end{eqnarray*}$
...

Da hast du das Quadrat vergessen, denn es heisst ja ... $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ .
Daher ist

$\begin{eqnarray*} 16 \frac{d^2}{c^2} + 1 = d^2 \end{eqnarray*}$

Daraus berechnest du beispielsweise

$\begin{eqnarray*} c^2 = \frac{16d^2}{d^2 - 1} \end{eqnarray*}$

und setzt dies in die Hauptbedingung ein! (Nicht wieder in die Nebenbedingung einsetzen, sonst rechnest du im Kreis).

Vereinfachung der Ansatzfunktion - nur zur Auffindung des Extremwertes: 4 weglassen und quadrieren ->

$\begin{eqnarray*} u = 4 \cdot \sqrt {c^2 + d^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(d) = \frac{16d^2}{d^2 - 1} + d^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(d) = \frac{16d^4 + 15d^2}{d^2 - 1} \end{eqnarray*}$

Nun hast du bereits eine Funktion nur in d, weiter Ableitung und der übliche Weg ... (die nach dem Nullsetzen der Ableitung entstehende Gleichung 4. Grades ist biquadratisch und lässt sich daher wie eine quadratische Gleichung behandeln). Das Vorzeichen der 2. Ableitung an der Extremstelle entscheidet, welches Extremum vorliegt.

[Kontr.: $\begin{eqnarray*} d = \sqrt {5}, c = 2\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ]

Bei Problemen bitte nochmals fragen.

mY+

18.02.2007, 16:45

elfchen

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ah, das war der fehler! Big Laugh

danke, jez kapier ichs Big Laugh

18.02.2007, 18:41

Leopold

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RE: ellipse,rhombus

Zitat:

Original von elfchen
Einer Ellipse mit a = 4 und b = 1 ist der Rhombus mit kleinstem Umfang einzuschreiben.

Müßte das im Sinne der Aufgabe nicht "umzubeschreiben" heißen? Oder: "Die Ellipse ist einem Rhombus einzubeschreiben."

18.02.2007, 20:00

mYthos

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Ich habe das so selbstverständlich genommen, dass ich gar nicht mehr auf den Text gesehen habe. Anders wäre ea auch gar nicht sinnvoll möglich! Weder einen Rhombus einzuschreiben, als auch den kleinsten Umfang zu ermitteln.

Und dann wären auch die beiden Flächen nicht gleich ( $\begin{eqnarray*} A = 4 \pi E² \end{eqnarray*}$ ) Big Laugh

Aber natürlich muss die Angabe dahingehend korrigiert werden.

mY+

19.02.2007, 00:21

riwe

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mit $\begin{eqnarray*} g: y= mx +n \end{eqnarray*}$ hat man die schnittpunkte mit den achsen $\begin{eqnarray*} A(-\frac{n}{m}/0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B(0/n) \end{eqnarray*}$ .
damit folgt für die seite des rhombus
$\begin{eqnarray*} s²= n²(1+\frac{1}{m²}) \end{eqnarray*}$
und die beziehung zwischen n und m liefert die berührbedingung, also nach einsetzen der geraden in die ellipsengleichung muß die diskriminante der quadratischen gleichung D = 0 sein.
damit hat man

$\begin{eqnarray*} f(m)=(16m²+1)(1+\frac{1}{m²})\to m=\pm\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} n=\pm\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} s=5 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} r²=\frac{n²}{m²+1}\to r=2 \end{eqnarray*}$

und letztlich

$\begin{eqnarray*} A_{kreis}=4\pi=A_{ellipse} \end{eqnarray*}$

werner

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