Mehrere Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

31.01.2013, 14:00

Philipp68

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Mehrere Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Meine Frage:
Hi,

ich rechne zur Zeit Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte und möchte immer mal wieder wissen, ob die Rechenwege bzw. Lösungen richtig sind.
Ich werde immer mal wieder neue Aufgaben reinstellen.

Meine Ideen:
1. Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x = (\frac{n+4}{n-1})^n \end{eqnarray*}$

Lösung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } = (\frac{1}{n})^n = 0 \end{eqnarray*}$

31.01.2013, 14:15

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Philipp68
1. Aufgabe

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x = (\frac{n+4}{n-1})^n \end{eqnarray*}$

Lösung:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } = (\frac{1}{n})^n = 0 \end{eqnarray*}$

Was hat das obere denn mit dem unteren zu tun? Wieso steht da plötzlich 1/n in der Klammer? verwirrt

verwirrt

31.01.2013, 14:27

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Das ist der Endterm.

31.01.2013, 14:34

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Aha? Naja, ohne deine Rechenschritte kann ich jetzt nur wenig dazu sagen.

Aber in jedem Fall ist das falsch.

31.01.2013, 14:39

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Mulder
Aha? Naja, ohne deine Rechenschritte kann ich jetzt nur wenig dazu sagen.

Aber in jedem Fall ist das falsch.

$\begin{eqnarray*} ( \frac{n*(1+ \frac{4}{n}) }{n*(n-\frac{1}{n}) } )^n \end{eqnarray*}$

Das war mein Zwischenschritt. Wie lautet denn sonst das Ergebnis?

31.01.2013, 14:40

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Dieses "teilweise Grenzwert" bilden darfst du hier nicht machen. Verwenden musst du hier den bekannten Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{n} \right )^n = e^x \end{eqnarray*}$

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31.01.2013, 14:42

HAL 9000

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Vor allem ist die Umformung $\begin{eqnarray*} n-1 \stackrel{???}{=} n\cdot \left(n-\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ schlicht falsch.

31.01.2013, 14:43

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Mulder
Dieses "teilweise Grenzwert" bilden darfst du hier nicht machen. Verwenden musst du hier den bekannten Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{n} \right )^n = e^x \end{eqnarray*}$

Ah okey und das ist immer so, wenn ich eine Potenz in der Rechnung habe oder in der Klammer diese Form stehen habe ( 1 + x/n)?

31.01.2013, 14:44

Philipp68

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Zitat:

Original von HAL 9000
Vor allem ist die Umformung $\begin{eqnarray*} n-1 \stackrel{???}{=} n\cdot \left(n-\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ schlicht falsch.

Danke für den Hinweis!

Also steht es dann so da,

$\begin{eqnarray*} = ( \frac{1 + \frac{4}{n} }{ 1 - \frac{1}{n} } )^n = ( \frac{1}{1})^n = 1^n = 1 ???? <br /> \end{eqnarray*}$

31.01.2013, 14:50

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Ich kann mich nur wiederholen:

Zitat:

Original von Mulder
Dieses "teilweise Grenzwert" bilden darfst du hier nicht machen. Verwenden musst du hier den bekannten Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{n} \right )^n = e^x \end{eqnarray*}$

31.01.2013, 14:52

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Mulder
Ich kann mich nur wiederholen:

Zitat:

Original von Mulder
Dieses "teilweise Grenzwert" bilden darfst du hier nicht machen. Verwenden musst du hier den bekannten Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{n} \right )^n = e^x \end{eqnarray*}$

Und wenn ich diese Form vor mir liegen habe, ist das immer so!?

31.01.2013, 14:54

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Ja.

31.01.2013, 14:55

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Mulder
Ja.

Noch eine Frage Big Laugh

Big Laugh

Wenn das n im Nenner z.b n² oder n³ ist, gilt das dann auch noch?

31.01.2013, 14:57

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Also was natürlich nicht gilt, wäre sowas:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{n^2} \right )^n = e^x \end{eqnarray*}$

Das wäre falsch. Was aber analog eben wohl gilt, sind so Sachen wie

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{n^2} \right )^{n^2} = e^x \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{400n} \right )^{400n} = e^x \end{eqnarray*}$

Weil der Nenner in der Klammer und der Exponent gleichschnell "wachsen".

31.01.2013, 15:48

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Mulder
Also was natürlich nicht gilt, wäre sowas:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{n^2} \right )^n = e^x \end{eqnarray*}$

Das wäre falsch. Was aber analog eben wohl gilt, sind so Sachen wie

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{n^2} \right )^{n^2} = e^x \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{400n} \right )^{400n} = e^x \end{eqnarray*}$

Weil der Nenner in der Klammer und der Exponent gleichschnell "wachsen".

Danke!

Kannst du mir zu dieser Aufgabe einen Denkanstoß geben? smile

smile

Ich weiß nicht, wie ich die Wurzel vereinfache unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } = \sqrt{n² + 7n + 1} - \sqrt{n² + 3n + 4} <br /> \end{eqnarray*}$

31.01.2013, 15:58

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Was hast du denn rausbekommen?

Zu der zweiten Aufgabe: Multipliziere mit

$\begin{eqnarray*} \frac{ (\sqrt{n^2 + 7n + 1} + \sqrt{n^2 + 3n + 4} )}{ (\sqrt{n^2 + 7n + 1}+ \sqrt{n^2 + 3n + 4}) } \end{eqnarray*}$

und benutze im Zähler die dritte binomische Formel.

31.01.2013, 16:03

Monoid

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Philipp68

Kannst du mir zu dieser Aufgabe einen Denkanstoß geben? smile

smile

Ich weiß nicht, wie ich die Wurzel vereinfache unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } = \sqrt{n² + 7n + 1} - \sqrt{n² + 3n + 4} <br /> \end{eqnarray*}$

Die Notation ist aber auch nicht korrekt. geschockt

geschockt

31.01.2013, 16:26

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Monoid

Zitat:

Original von Philipp68

Kannst du mir zu dieser Aufgabe einen Denkanstoß geben? smile

smile

Ich weiß nicht, wie ich die Wurzel vereinfache unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } = \sqrt{n² + 7n + 1} - \sqrt{n² + 3n + 4} <br /> \end{eqnarray*}$

Die Notation ist aber auch nicht korrekt. geschockt

geschockt

Sorry, hab das zu schnell geschrieben, " = " sollte weg

31.01.2013, 16:26

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
[quote]Original von Mulder
Was hast du denn rausbekommen?

Zu der zweiten Aufgabe: Multipliziere mit

$\begin{eqnarray*} \frac{ (\sqrt{n^2 + 7n + 1} + \sqrt{n^2 + 3n + 4} )}{ (\sqrt{n^2 + 7n + 1}+ \sqrt{n^2 + 3n + 4}) } \end{eqnarray*}$

und benutze im Zähler die dritte binomische Formel.[/quote

Ich bin grad dabei Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.01.2013, 16:36

Monoid

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Zeig doch mal deine Ansätze für den Grenzwert, mit Mulders Tipp.

@Mulder:
Führ du den Thread weiter, ja?

31.01.2013, 18:03

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Monoid
Zeig doch mal deine Ansätze für den Grenzwert, mit Mulders Tipp.

@Mulder:
Führ du den Thread weiter, ja?

Ja mach ich. Musste eben was erledigen und setz mich nochmal dran, hab da ein paar Fehler gemacht..

31.01.2013, 18:14

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Also ich bin auf folgenden Rechenschritt gekommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(\sqrt{n²+7n+1})² - (\sqrt{n²+3n+4})² }{\sqrt{n²+7n+1} + \sqrt{n²+3n+4} } \end{eqnarray*}$

Nun müssten sich doch im Zähler die Wurzeln wegen dem ² auflösen, oder?

31.01.2013, 18:21

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Philipp68
Nun müssten sich doch im Zähler die Wurzeln wegen dem ² auflösen, oder?

Ich glaube, die Antwort auf diese Frage kennst du.

31.01.2013, 18:26

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Mulder

Zitat:

Original von Philipp68
Nun müssten sich doch im Zähler die Wurzeln wegen dem ² auflösen, oder?

Ich glaube, die Antwort auf diese Frage kennst du.

Also ja!

Gut, wenn ich weiterrechne komme ich auf diese Form und dann weiß ich wegen den Wurzeln im Nenner nicht genau, was ich machen soll:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n²+7n+1) - (n²+3n+4)}{\sqrt{n²+7n+1} + \sqrt{n²+3n+4} } = \frac{4n-3}{ \sqrt{n²+7n+1} + \sqrt{n²+3n+4}} \end{eqnarray*}$

31.01.2013, 18:28

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Im Nenner ausklammern, so dass du das n im Zähler wegkürzen kannst.

31.01.2013, 18:48

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Mulder
Im Nenner ausklammern, so dass du das n im Zähler wegkürzen kannst.

Ich muss sagen, den Nenner auszuklammern ist echt scheiße und ich wäre nie drauf gekommen, wie das geht. Hoffen wir mal, ob ich alles richtig gemacht habe!

$\begin{eqnarray*} \frac{n* ( 4 - \frac{3}{n}) }{ \sqrt{ ( \frac{n²}{n²} * ( n² + 7n +1 )) + \sqrt{( \frac{n²}{n²})* n² + 3n +4) } } } = \frac{n * ( 4 - \frac{3}{n}) }{ n * ( \sqrt{1}+\sqrt{1}) } = \frac{4}{2} = 2 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, man kann meine Schritte nachvollziehen!

31.01.2013, 18:50

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Da fehlt eine Klammer bei der zweiten Wurzel im Nenner (ganz vorne im ersten Schritt). Und die "erste" Wurzel hast du nicht rechtzeitig "geschlossen". Die zweite Wurzel steckt ja jetzt in der ersten Wurzel drin.

Ansonsten: Etwas verkappt aufgeschrieben, aber das Ergebnis 2 ist richtig.

31.01.2013, 19:01

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Mulder
Da fehlt eine Klammer bei der zweiten Wurzel im Nenner (ganz vorne im ersten Schritt). Und die "erste" Wurzel hast du nicht rechtzeitig "geschlossen". Die zweite Wurzel steckt ja jetzt in der ersten Wurzel drin.

Ansonsten: Etwas verkappt aufgeschrieben, aber das Ergebnis 2 ist richtig.

Erstmal ein fettes Dankschön für deine Hilfe!! smile

smile

Mit den Klammern habe ich irgendwann nicht mehr durchgeblickt, wo welche noch hinkommt Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

31.01.2013, 19:03

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Was hattest du eigentlich bei der ersten Aufgabe rausbekommen?

31.01.2013, 19:10

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Mulder
Was hattest du eigentlich bei der ersten Aufgabe rausbekommen?

Ich glaube, das war $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ .

31.01.2013, 19:12

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Du glaubst ?

Dann hat sich die Nachfrage ja gelohnt. Das ist nämlich falsch.

31.01.2013, 19:12

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Philipp68
[quote]Original von Mulder
Was hattest du eigentlich bei der ersten Aufgabe rausbekommen?

Ich rechne nochmal kurz nach!

Also,

$\begin{eqnarray*} (\frac{n* ( 1+ \frac{4}{n}) }{n* ( 1 - \frac{1}{n}) })^n \end{eqnarray*}$

Ich weiß, dass der Nenner = e^-1 ergibt. Nur die 4 im Zähler irritiert mich

31.01.2013, 19:26

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Philipp68
Du sagtest, dass die Summe in der Klammer e^x ergibt.
Nun folgere ich daraus, dass im Zähler e^x und im Nenner - e^x steht. Das Ergebnis lautet dann - 1 ?

Entschuldige bitte, aber das ist doch Unsinn.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left ( 1+ \frac{x}{n} \right )^n = e^x \end{eqnarray*}$

Ja, das gilt. Aber das x steht hier für eine Zahl, die man da einsetzen kann. Bei dir kommt doch in der Klammer nirgends ein x vor. Im Ergebnis dann aber plötzlich schon?

Für das x hast du bei deinem Beispiel im Zähler eine 4 stehen und im Nenner eine -1.

Edit: Okay, das hat sich mit deinem Edit überschnitten. Wieso irritiert dich die 4? Mit einer 4 funktioniert es genau so wie bei -1 und bei jeder anderen Zahl.

31.01.2013, 19:29

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{-4} }{e^{-1} } \end{eqnarray*}$

ist das korrekt?

Weiß ich jetzt auch, konnte den Beitrag leider nicht so schnell ändern ^^

31.01.2013, 19:30

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Nein. Wieso denn -4?

31.01.2013, 19:33

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Mulder
Nein. Wieso denn -4?

Sorry ich meine e^4,

$\begin{eqnarray*} \frac{e^{4} }{e^{-1} } = e^{4} * e^{1} = e^{5} \end{eqnarray*}$

31.01.2013, 19:41

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Jep.

31.01.2013, 19:51

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Mulder
Jep.

Es wird schon ein wenig besser ^^ Big Laugh

Big Laugh

Hab noch eine weitere:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{n^{n} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n * (1)}{n * (1)^n} = 0 \end{eqnarray*}$

Ohhh Big Laugh

Big Laugh

also n! = 1 * 2 * 3 * n . Wie kann ich denn sowas anders schreiben?

Wäre das n * ( n + 1 ) ??

31.01.2013, 20:00

Mulder

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte
Das Ergebnis stimmt zwar, aber was du gerechnet hast, kann ich nicht im Mindesten erahnen. Der letzte Schritt ergibt für mich irgendwie keinen Sinn und passt auch nicht zum Ergebnis, das du dann erhälst.

31.01.2013, 20:14

Philipp68

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RE: Mehrer Aufgaben zu Folgen und Grenzwerte

Zitat:

Original von Mulder
Das Ergebnis stimmt zwar, aber was du gerechnet hast, kann ich nicht im Mindesten erahnen. Der letzte Schritt ergibt für mich irgendwie keinen Sinn und passt auch nicht zum Ergebnis, das du dann erhälst.

Kannst du mir das mit der Fakultät erklären?

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