Integral, Volumenberechnung

31.01.2013, 17:28	Jule99	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral, Volumenberechnung Meine Frage: Hallo, ich soll diese folgende Frage berechnen, finde aber leider nicht den richtigen Weg: Berechnen Sie das Voolumen des Asteroids, der durch Rotation folgender Kurven um die x-Achse entsteht: x(t)=(cost)^3 y(t)=(sint)^3 0<=t<=2pi Ich hoffe wirklich dass mir jemand weiterhelfen kann! Meine Ideen: In meinen Unterlagen hab ich folgende Formel zur Volumenberechnung von Einhaeitskugeln gefunden: V= $\begin{eqnarray} \int_0^1\int_0^b f(\sqrt{1-x^2-y^2} ) \, dy dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray}$ Das b konnte ich mit dem Editor leider nicht in die Formel bringen, daher hab ich's seperat geschrieben. Also ich komme leider überhaupt nicht auf eine Idee, wie ich das alles verbinden soll. Über Hilfe würde ich mich wirklich sehr freuen!
31.01.2013, 18:25	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Es handelt sich hier nicht um 2 Kurven, sondern um 1 Kurve, und zwar in Parameterdarstellung. Wenn man sich die Kurve aufzeichnet (das solltest du unbedingt tun), wird klar, daß es genügt, das Stück im I. Quadranten zu betrachten. Dort ist die Kurve Graph einer Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x \in [0,1] \end{eqnarray}$ . Das gesuchte Volumen ist nach einer aus der Schule bekannten Formel dann $\begin{eqnarray} V = 2 \pi \int_0^1 \left( f(x) \right)^2 ~ \dd x \end{eqnarray}$ Der Faktor $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ ist erforderlich, damit auch das Volumen links der $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse berücksichtigt wird. Substituiert man jetzt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ (für dieses $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ -Intervall bekommt man gerade das Kurvenstück im I. Quadranten, allerdings in verkehrtem Durchlaufsinn), dann wird wegen $\begin{eqnarray} f \left( x(t) \right) = y(t) \end{eqnarray}$ daraus gemäß Substitutionsregel $\begin{eqnarray} V = - 2 \pi \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( y(t) \right)^2 \cdot \dot{x}(t) ~ \dd t \end{eqnarray}$ Mit dem Punkt wird die Ableitung nach der Variablen $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ bezeichnet. Du kannst auch direkt mit der Funktionsdarstellung $\begin{eqnarray} f(x) = \left( 1 - x^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ arbeiten. Man erhält sie, indem man den Parameter $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ eliminiert. Denke an den trigonometrischen Pythagoras.
31.01.2013, 19:30	Jule99	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, vielen Dank.

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