Additionstheorem

31.01.2013, 18:50

Vinyldiva

Additionstheorem

Meine Frage:
Hi,

mein Problem ist folgende Aufgabe:
Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} sin^2(\frac{x}{2} ) = \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1 - sin^2(x)}{4} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir fehlt es an dieser Stelle leider vollkommen an Lösungsansätzen.
Am allermeisten hänge ich mich leider an der Wurzel auf.
Ich brüte jetzt seit zwei Tagen an der Aufgabe und konnte auch leider bei meinen Kommilitonen bisher noch nicht viel erreichen. Bzw einer hat mir den Rat gegeben mich einmal hier ans board zu wenden.

Dies ist keine Klausur- oder Hausaufgabe, zumindest keine für die ich irgendwie irgendwelche Punkte bekomme. Sondern einfach nur eine Übungsaufgabe um mit den Additionstheoremen zurecht zu kommen, bei denen ich mir leider die Ohren breche.

Herzlichen Dank!

31.01.2013, 18:55

zyko

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RE: Additionstheorem
Ersetze in der Wurzel die 1 durch
$\begin{eqnarray*} 1=\sin^2(x)+\cos^2(x) \end{eqnarray*}$ ,
fass zusammen und ziehe die Wurzel
und später nochmals
$\begin{eqnarray*} 1=\sin^2(x/2)+\cos^2(x/2) \end{eqnarray*}$
und berücksichtige, dass
$\begin{eqnarray*} \cos(x)=\cos^2(x/2)-\sin^2(x/2) \end{eqnarray*}$

31.01.2013, 19:03

Vinyldiva

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Herzlichen Danke Zyko!

Das hat mir echt weiter geholfen. Herrlich wie sehr man manchmal auf dem Schlauch stehen kann!! Hammer

31.01.2013, 19:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von Vinyldiva
Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} sin^2(\frac{x}{2} ) = \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1 - sin^2(x)}{4} } \end{eqnarray*}$

Ich setze mal $\begin{eqnarray*} x=\pi \end{eqnarray*}$ ein, und stelle fest:

Links steht $\begin{eqnarray*} \sin^2\left( \frac{\pi}{2} \right) = 1^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Und rechts: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1 - \sin^2(\pi)}{4}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0 \end{eqnarray*}$ .

D.h., die Gleichung gilt gewiss nicht für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , weswegen der Gültigkeitsbereich geeignet einzuschränken ist!

31.01.2013, 19:21

Vinyldiva

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Hey Hal,

das sieht gut aus. Allerdings ist der zweite Teil der Aufgabe dann:

Benutzen Sie die Fomel aus dem ersten Teil, sowie $\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi }{4}) \end{eqnarray*}$ ,
um $\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi }{8}) \end{eqnarray*}$ zu berechnen.
Bestimmen Sie damit dann cos(\frac{\pi }{8}) und tan((\frac{\pi }{8})).

Dafür brauche ich also nicht den Beweis mit einem beliebigen x sondern die Umformung.

Aber auch danke für den Ansatz!!

31.01.2013, 19:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Vinyldiva
Dafür brauche ich also nicht den Beweis mit einem beliebigen x sondern die Umformung.

Umformung, Beweis - egal, wie man es nennt. Aber man sollte doch zumindest wissen, für welche x man diese Gleichung anwenden darf, und für wellche nicht. unglücklich

Ich finde deine "Abwiegelung" daher mehr als bedenklich: In der Originalform

Zitat:

Original von Vinyldiva
Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} sin^2(\frac{x}{2} ) = \frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1 - sin^2(x)}{4} } \end{eqnarray*}$

ist diese Aussage eben wirklich falsch! Und ein Beweis, der den Anspruch erhebt, für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu gelten, muss dann notgedrungen fehlerhaft sein.

31.01.2013, 19:34

Vinyldiva

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Ja, da hast du allerdings recht.

Habe mir gerade noch einmal den alten original-Übungszettel angeschaut und dort ist tatsächlich angegeben: $\begin{eqnarray*} x \in [0, \frac{\pi }{3}] \end{eqnarray*}$

31.01.2013, 19:35

HAL 9000

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Warum denn nicht gleich so? Augenzwinkern

31.01.2013, 19:42

Vinyldiva

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aber echt super die Hilfe. smile

irgendwie legt sich so langsam meine Abneigung gegen alles wo sin und cos drin vorkommt

31.01.2013, 19:50

HAL 9000

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Der Grund für die nötige Einschränkung liegt an dem für die rechte Seite benutzten

$\begin{eqnarray*} \cos(x) = \sqrt{1-\sin^2(x)} \end{eqnarray*}$

Das folgt aus $\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$ , aber nur für diejenigen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \cos(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ , also z.B. für $\begin{eqnarray*} x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] \end{eqnarray*}$ , aber NICHT für $\begin{eqnarray*} x\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ , wo ja auch das Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} x=\pi \end{eqnarray*}$ von oben reinpasst.

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