Bestimme die allgemeine Lösung der Differenzengleichung

31.01.2013, 19:56	Kachri	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme die allgemeine Lösung der Differenzengleichung Meine Frage: Hier hänge ich leider bei dem partikulären Ansatz, der homogene hat geklappt (hoffe ich ;-)) Ich soll dies mit "Variation der Konstanten lösen" Angabe lautet: $\begin{eqnarray} (n+1)^{2}a_{n} = n^{2}a_{n-1}+n+1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe meine Angabe so umgeformt: $\begin{eqnarray} a_{n+1} = \frac{(n+1)^{2}}{(n+2)^{2}}a_{n}+\frac{1}{(n+2)} \end{eqnarray}$ Die Homogene Lösung wäre dann: $\begin{eqnarray} X_{n} = C_{n}\frac{1}{(n+1)^{2}} \end{eqnarray}$ Nach dem ich versucht habe die "Variation der Konstanten" anzuwenden komme ich auf $\begin{eqnarray} C_{n+1}=C_{n}+(n+2) \end{eqnarray*}$ Nun stehe ich an und weiß nicht mehr weiter... Ich denke mal hier liegt irgendwo der Fehler und ich komm einfach auf keinen grünen Zweig. Kann mir jemand bitte helfen? Vielen Dank!
31.01.2013, 20:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, und wo klemmt's? Dann ist doch $\begin{eqnarray} C_{n+1}-C_n = n+2 \end{eqnarray}$ wieder eine der dir bekannten (inhomogenen) linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten.
31.01.2013, 20:16	Kachri	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Problem ist das ich nicht verstehe wie ich von diesem Schritt auf ein $\begin{eqnarray} C_{n} \end{eqnarray}$ komme... stimmt den $\begin{eqnarray} C_{n}=n^{2}+2n \end{eqnarray}$ ?
31.01.2013, 20:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau wie hier, Fall 2: Die homogene Gleichung hat die Lösung $\begin{eqnarray} \lambda=1 \end{eqnarray}$ mit Vielfachheit 1. Daher lautet die homogene Lösung einfach $\begin{eqnarray} B_1 \end{eqnarray}$ , und der partikuläre Ansatz für das Störglied $\begin{eqnarray} n+2 \end{eqnarray}$ muss dann zunächst lauten $\begin{eqnarray} (A_0+A_1n)n^1 = A_0n+A_1n^2 \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »