Begründung Unterraum - Seite 2

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01.02.2013, 17:18	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterraum ist okay. Überlege dir doch einfach mal, wie diese schiefsymmetrischen Matrizen in allgemeiner Form ausschauen.....
01.02.2013, 17:27	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Schiefsymmetrische Matrizen haben in der Hauptdiagonalen nur Nullen. Weiterhin gilt: $\begin{eqnarray} a_{ij}=-a_{ji} \end{eqnarray}$
01.02.2013, 17:43	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, sie haben also die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}0&a_{12}&a_{13}\\-a_{12}&0&a_{23}\\-a_{13}&-a_{23}&0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun genau hinschauen und überlegen, welche Matrizen man braucht, um eine solche Matrix zu basteln. Wie viele Unbekannte kommen in der Matrix vor? Wie könnte also eine Basis aussehen? Schreibe die Matrix dazu als Summe von Matrizen, die jeweils nur eine Unbekannte haben, klammere diese Unbekannte aus und du hast deine Basis.
01.02.2013, 17:55	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis wäre dann: $\begin{eqnarray} a_{12} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}+a_{13} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}+a_{23} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wie schreibt man das sauber auf? Hier kann ich ja dann erkennen, es gibt $\begin{eqnarray} a_{12}, a_{13}, a_{23} \end{eqnarray}$ , also ist die Dimension 3.
01.02.2013, 18:17	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das was du aufgeschrieben hast ist eine Parameterdarstellung des Unterraums. Eine Basis ist nun aber einfach abzulesen, funktioniert ganz analog zu der Parameterdarstellung der Ebene. Die Dimension ist 3, richtig, da du drei Basiselemente hast.
01.02.2013, 18:29	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie würde man denn in diesem Fall die Basis korrekt schreiben?
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01.02.2013, 18:44	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Als eine Menge von Basiselementen.
01.02.2013, 18:50	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Also $\begin{eqnarray} U = lin \{B_1, B_2, B_3\} \end{eqnarray}$ ?
01.02.2013, 18:53	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn lin die lineare Hülle sein soll, dann ist das eine darstellung des Unterraums. Üblich ist jedoch die Schreibweise span {..}. Das ist der Raum, der von den Vektorena aufgespannt wird, also die Menge aller Linearkombinationen. Eine Basis ist einfach eine Menge: $\begin{eqnarray} \textbf{Basis von U}=\left\{ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$
01.02.2013, 18:56	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay danke. Was genau bedeutet die lineare Hülle? Das die Vektoren, aus der die lineare Hülle besteht, die Ebene aufspannen? Also den Unterraum?
01.02.2013, 19:02	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Die lineare Hülle ist die Menge aller Linearkombinationen, also der Vektorraum, der aufgespannt wird.
02.02.2013, 10:33	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, noch mal eine Frage. Es gibt doch für jede Matrix nur eine inverse Matrix,oder?
02.02.2013, 11:13	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, höchstens eine. Wenn eine Matrix eine Inverse besitzt, dann ist diese Inverse eindeutig. Es kann aber natürlich auch sein, dass eine Matrix gar keine Inverse hat.
02.02.2013, 11:17	Patrick1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das stimmt, ich meine wenn sie eine besitzt, das heißt die Determinante der Matrix ist ungleich 0, gibt es nur eine Inverse. Ich habe nämlich eine andere Lösung als die Musterlösung sagt und habe jedoch auch die inverse Matrix mit einem Programm nachgerechnet und das Ergebnis stimmt mit meinem überein.
02.02.2013, 11:20	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann zeige uns die Aufgabe mal in einem neuen Thread. Dann können wir uns ansehen, ob die Musterlösung falsch ist oder ob du die Matrix falsch aufgestellt hast etc.
04.02.2013, 20:14	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe die folgenden Beiträge abgetrennt und einen neuen Thread eröffnet: Begründung Unterraum 2

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