Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen

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Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
Hey Leute,

ich soll den Winkel zwischen 2 Vektoren bestimmen. An sich kein Problem, gibt es ja eine Formel für. Ich komm nur nicht mit den beiden Vektoren zurecht. Das Ganze sieht folgendermaßen aus



Wie geht man denn da am besten ran?
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
Die Bedingung

kann über das Innenprodukt in eine Formel einfließen. Ähnlich für die zweite Bedingung. Aus beiden Bedingungen ergibt sich ein neues Innenprodukt.
Denke daran, dass sich der Winkel nicht ändert, wenn man die beteiligten Vektoren in der Länge ändert. Daraus folgt, dass die Länge eines der Vektoren beliebig festgelegt werden kann. Aus der Schlussbedingung, ein Innenprodukt, kann der Winkel berechnet werden.
 
 
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
Hallo zyko,

so richtig hab ich das immer noch nicht verstanden...

Muss ich bei dieser Aufgabe insgesamt einen oder zwei Winkel berechnen? Also es soll der Winkel berechnet werden, den a und b einschließen.

Zählt die eine Bedingung für einen Winkel und die andere Bedingung für den anderen Winkel? Dann wären es gesamt zwei Winkel.


Muss ich für die erste Bedingung einen Winkel berechnen und für die zweite auch oder mache ich beide Bedingungen zu jeweils einem Produkt, so dass sich ein Winkel ergibt?
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
Da du zwei Bedingungen hast:
Zitat:
, lautet die erste Gleichung (Innenprodukt==Skalarprodukt)
.
Die zweite darfst du selbst formulieren.
Da die Länge der Vektoren keinen Einfluss auf den Winkel hat, kannst du z.B. zusätzlich fordern, dass die Länge 1 hat. Was bedeutet dies für ?
Löse eine Gleichung nach auf und setze das Ergebnis in die andere ein. Dadurch entsteht eine Gleichung, in der nur noch Konstanten und auftreten. Löse dieses nach auf. Dieser Wert ist der Kosinus des gesuchten Winkels.
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
Die zweite Gleichung würde lauten

So und da hört es dann auf bei mir. Löse ich das Skalarprodukt jetzt erstmal? verwirrt Wenn ich für a die Länge 1 fordere, dann ist a mal a auch 1.

Tut mir leid, ich frag wohl besser mal den Prof. Will dir jetzt auch nicht zu sehr auf den Geist gehen Augenzwinkern
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
1. Gleichung:

Mit ergibt sich


2. Gleichung

Also:

Aus den beiden Gleichungen kann eliminiert werden, sodass man eine Gleichung für
erhält. Unter der Berücksichtigung, dass
ergibt sich der Winkel zwischen den beiden Vektoren. Die Länge des Vektors a ist bekannt, die Länge von b erhält man durch Einsetzen von ab in die 1.Gleichung als
.
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
Hi zyko,

sorry, dass ich erst jetzt wieder schreibe aber ich musst erstmal eine andere Klausur über die Bühne bringen Augenzwinkern

Danke für den ausführlichen Rechenweg. Ich schau mir die Aufgabe nochmal am Wochenende in Ruhe an und melde mich dann gegebenfalls nochmal.

Gruß
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
Okay, so weit so gut. Hab alles verstanden, was gemacht wurde. Jetzt fehlt also nur noch b, da wir die Länge von a festgelegt haben. Weiß nicht recht, wie genau der letzte Schritt gemeint ist. Kann jemand bitte helfen?
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
1. Gleichung


2. Gleichung


Darin sind die beiden Ausdrücke
und
unbekannt. Das heißt du hast zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten.
Vielleicht kannst du die beiden Ausdrücke durch zwei neue Buchstaben
und ersetzen, um ein Gleichungssystem ohne Vektoren zu erhalten.

Für die Winkelberechnung musst du natürlich wieder auf das Skalarprodukt zurückgreifen und berücksichtigen, dass
Angel92 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
Okay. Danke. Wäre ich nicht drauf gekommen. Ich tue mich einfach total schwer damit, wenn keine Zahlen da stehen.

Es ergibt sich also folgendes Gleichungssystem



Mit den Lösungen

Ich frag mich jetzt nur noch, wie ich an den Betrag von a komme.

Tut mir wirklich leid für die ständigen Fragen traurig
zyko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen
Zitat:

Ich frag mich jetzt nur noch, wie ich an den Betrag von a komme.

Dies sind deine Bedingungsgleichungen:

Wenn man darin die Vektoren und ersetzt (sich denkt) mit dem gleichen Faktor g multipliziert, dann verändert sich nur die Länge der Vektoren aber nicht ihre Richtung bzw. der Wibkel zwischen den beiden Vektoren.

Gleichungstechnisch aufgeschrieben (ohne):
1. Gleichung lautet

Dies ist gleichbedeutend mit

Ähnliches gilt auch für die zweite Gleichung.
Daraus folgt, dass die für den Vektor b berechnete Länge das Verhältnis ist.
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