Komplexe Zahlen de Moivre

31.01.2013, 23:20

eintopf

Komplexe Zahlen de Moivre

Meine Frage:
Moin moin, ich habe folgende Aufgabe mit richtigem ersten Rechenschritt (der kommt aber nicht von mir). Wie komme ich auf diesen Rechenschritt?
$\begin{eqnarray*} \left(-1+\sqrt{3}\right)^{12}= \left[2\left(\sin(\frac{2*\pi }{3} )+i*\sin(\frac{2*\pi }{3}) \right)\right]^{12} <br /> \end{eqnarray*}$
Woher kommt die 2 vor der Klammer?
Wie komme ich auf (2+Pi)/3 ?

Meine Ideen:
Ich würde das ja folgendermaßen umformen:
$\begin{eqnarray*} \left(\cos(\pi )+i*\sin(?)\right)^{12} \end{eqnarray*}$
cos(Pi) ergibt -1 und was im Sinus Wurzel(3) ergibt, kann ich nicht rausfinden. Ist bestimmt der falsche Weg, aber er erscheint mir logischer als der Rechenschritt oben.
Ich hab die ganze Rechnung aus folgendem Video: https://www.youtube.com/watch?v=NrwWv9JHdI4

31.01.2013, 23:46

zyko

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RE: Komplexe Zahlen de Moivre
Du meinst vermutlich:
$\begin{eqnarray*} z^{12}=\left(-1+i\sqrt{3}\right)^{12}=r \cdot e^{i\phi} <br /> \end{eqnarray*}$
Hierin ist r der Betrag der komplexen Zahl und für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)=\frac{Im(z)}{r} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=\frac{Re(z)}{r} \end{eqnarray*}$ .

Achtung beim Ausrechnen des Winkels darauf achten, dass es jeweils für sin und cos mehrere Winkel gibt, die den gleichen Wert liefern. Erst die Kombination beider Gleichungen liefert den eindeutigen Winkel.
Am besten du zeichnest den Punkt in ein x-y-Koordinatensystem ein.

01.02.2013, 00:35

eintopf

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Ich könnte jetzt deine Sachen abschreiben und die Ergebnisse aus dem Lösungsweg einsetzten, dann komme ich auf das richtige Ergebnis, aber es hilft mir nicht weiter, weil ich es nicht verstehe und ohne das Ergebnis wäre ich nicht drauf gekommen.
Ich scheiter halt an diesem Schritt:
$\begin{eqnarray*} \sin ( \phi )= \frac{y}{x}=\frac{\sqrt{3} }{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tan ( \phi )= \frac{y}{x}=\frac{-1}{2} \end{eqnarray*}$
Ich hab so ne Schöne Tabelle mit Werten von 0° bis 90° und das gleiche nochmal im Bogenmaß, aber das bringt mich hier auch nicht weiter. Daran scheitert das auch bei dem Weg, den ich noch in einer Buch gefunden habe.
$\begin{eqnarray*} \tan ( \phi )= \frac{y}{x}=\frac{\sqrt{3} }{-1} \end{eqnarray*}$
Weil das Ergebnis im zweiten Quadranten liegt soll man rechnen:
$\begin{eqnarray*} \phi= \arctan ( y/x ) + \pi \end{eqnarray*}$ Eingesetzt ergibt das bei mir: $\begin{eqnarray*} \phi= \arctan ( \frac{\sqrt{3} }{-1}) + \pi \end{eqnarray*}$

01.02.2013, 00:57

zyko

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Es gilt für die Umrechnung von Bogenmaß in Grad:
$\begin{eqnarray*} \alpha°=\frac{\alpha^b}{\pi}*180 \end{eqnarray*}$

Es gilt ferner $\begin{eqnarray*} \sin(\phi)=\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \phi°=60° \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \phi°=180°-60° \end{eqnarray*}$

Es gilt ferner $\begin{eqnarray*} \cos(\phi)=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \phi°=180°+60° \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \phi°=180°-60° \end{eqnarray*}$ .
Analoges gilt für das Bogenmaß.

Deine Formel mit dem arctan ist richtig.

Meine Formel mit dem $\begin{eqnarray*} e^{i\phi} \end{eqnarray*}$ ist bei Produkten und Potenzen zweckmäßig, da hierbei die bekannten Potenzregeln genutzt werden können, ohne binomische Formeln für hohe Potenzen ausrechnen zu müssen.
Es ist nämlich
$\begin{eqnarray*} (re^{i\phi})^{12}= r^{12}e^{i12\phi}=r^{12}(\cos(12\phi)+i\sin(12\phi)) \end{eqnarray*}$

01.02.2013, 01:00

eintopf

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Beim ersten tan muss cos stehen, ist mir gerade aufgefallen.

01.02.2013, 01:06

zyko

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Steht bei mir auch.

01.02.2013, 01:10

eintopf

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Meine Formel ist falsch. Wenn ich arctan(-Wurzel(3)) haben will, dann sind das 150° oder (5*Pi)/6. Das ganze +Pi ergibt nicht (2*Pi)/3.
Ich habs mit deinem Weg mal hinbekommen, aber ich weiß nicht mehr wie. Mir scheint das alles echt total schleierhaft und ziemlich durcheinander.

01.02.2013, 08:16

Jello Biafra

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RE: Komplexe Zahlen de Moivre
Wie so oft bei Aufgaben dieser Art kannst Du auch hier eine niedrige Potenz von

$\begin{eqnarray*} z=\left(-1+\operatorname{i}\sqrt{3}\right) \end{eqnarray*}$

- durch schlichtes Ausmultiplizieren - als rein reell identifizieren.

Konkret: Berchne einfach mal $\begin{eqnarray*} z^3 \end{eqnarray*}$

01.02.2013, 09:14

zyko

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Zitat:

Original von eintopf
Meine Formel ist falsch. Wenn ich arctan(-Wurzel(3)) haben will, dann sind das 150° oder (5*Pi)/6. Das ganze +Pi ergibt nicht (2*Pi)/3.
Ich habs mit deinem Weg mal hinbekommen, aber ich weiß nicht mehr wie. Mir scheint das alles echt total schleierhaft und ziemlich durcheinander.

Ich erhalte für arctan(-Wurzel(3))=-60° --> 180°+arctan(-Wurzel(3))=180°-60°=120°=2*pi/3.

Wieso kommst du auf 150°?

01.02.2013, 13:24

eintopf

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Gute Frage: Ich habs heute mal mit tan(phi)=y/x probiert und es hat auf Anhieb geklappt.
Jetzt muss ich erst nochmal ein paar Aufgaben rechnen, damit sich das festigt.
Viele dank für die Hilfe, falls noch was sein sollte, werd ich mich wieder melden Teufel

01.02.2013, 14:00

eintopf

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Hat ja nicht lange gedauert, da hab ich auch schon wieder eine Frage:

Edit (mY+): Links zu externen Uploadseiten sind nicht gestattet und werden entfernt.
Hänge statt dessen die Grafik an deinen Beitrag an!

[attach]28236[/attach]

Unter dem Bruchstrich findet man ein -Pi/4 , wobei nach tan(phi)=y/x=-1 nur 135° in Frage kommt. Müsste deshalb nicht (3*Pi)/4 dort stehen?

01.02.2013, 17:21

zyko

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Der arctan, dessen Wertebereich im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\pi/2,\pi/2] \end{eqnarray*}$ liegt, kann nicht

erkennen ob bei y/x der Zähler und/oder der Nenner negativ ist/sind. Deshalb gibt es in manchen

Programmiersprachen den atan2(y,x), bei dem Realteil und Imaginärteil getrennt eingegeben werden,

und dessen Wertebereich im Intervall $\begin{eqnarray*} (-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ liegt.

Wenn y/x=-1, dann kann y=-1 und x=1 --> 1-i sein oder y=1 und x=-1 --> -1+i.
Ich empfehle dir den Punkt in ein x-y-Koordinatensystem einzuzeichnen, dann kannst du erkennen in

welchem Quadraten der Punkt liegt und wie daher der Winkel lauten muss. Natürlich gilt auch der

Winkel, der sich um ein ganzzahliges Vielfaches von 360° unterscheidet, wegen der Periodizität.

01.02.2013, 18:04

eintopf

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Also, da ich ja (1-i) weiß ich ja, dass er im 4 Bereich liegt. Dann bin ich aber weder mit 45° noch mit 135° Grad richtig. Dann müsste ich ja -45° oder 315° haben. Muss ich aber sagen, dass ich das nicht wirklich präzise finde die Lösung.
Ich habe noch eine andere Variante gefunden. Ich hab eine folgende Formel: phi= arctan(y/x)+2pi=arctan(-1/1)+2pi.
Nur wie bekomme ich jetzt den arctan ohne Taschenrechner raus? Ich habe ne Liste, in der die wichtigsten Werte für die sin/cos/tan/cot drinne stehen, aber das hilft mir irgendwie gerade nicht weiter. Eine Formel zu Umwandlung von arctan zu was anderem habe ich bisher auch noch nicht in einer Verständlichen Weise gefunden.
Eine Sache die ich gefunden habe war: arctan(x)=tan^-1(x). Aber ich gehe mal davon aus, das ich mit 1/tan(x) ziemlich aufm falschen Dampfer bin, oder?

02.02.2013, 12:47

zyko

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Vollkommen falscher Dampfer!

Die Umkehrfunktion des tan ist der arctan: arctan(tan(x))=x.

$\begin{eqnarray*} (\tan(x))^{-1}=\cot(x)=\frac{1}{\tan(x)} \end{eqnarray*}$ , das ist nur das Inverse des Tan aber nicht die Umkehrfunktion.

Den $\begin{eqnarray*} \arctan(1/(-1))=\arctan(-1) \end{eqnarray*}$ sollte man sich merken.
Mit folgender Frage ist es möglich den Winkel zu finden.
Für welchen Winkel gilt $\begin{eqnarray*} \tan(\phi)=\frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)}=-1 \end{eqnarray*}$ ?
Für welche Winkel haben der sin und der cos den gleichen BetragsWert und sie unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen? S. dazu auch meine Zeichnung.

02.02.2013, 20:37

Ukalabumba

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Habe das ganze Thema zwar auch erst heute halbwegs verstanden, wie man aber auf die Lösung in deinem ersten Post kommt kann ich nachvollziehen, hier mal mein Ansatz:

|z'|= $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1^{2}+\sqrt{3}^{2} } = 2 = r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r*cos(phi) = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(phi)= -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

cos von dem positiven Wert +0,5 wäre nun zunächst einmal (1/3)*Pi

Jetzt ist z aber im 2. Quadranten (da der Realanteil negativ ist, der Imaginäranteil jedoch positiv). Darum muss das Ergebnis von oben (ja, zunächst das Ergebnis für den positiven Wert annehmen) von Pi abgezogen werden. Anmerkung: Im 3. Quadranten müsste das Ergebnis von 1,5*Pi, im 4. Quadranten entsprechend von 2*Pi abgezogen werden, da das Argument nur den Winkel zwischen der POSITIVEN Realteilachse und der Stecke vom Ursprung nach z beschreibt.

Folglich ist das Ding dann dein gesuchtes Pi-(1/3)Pi = 2/3*Pi

Beim Sinus nimmt man entsprechend sqrt(3), kommt aber am Ende das selbe raus.

Dann einfach in die Polarform einsetzen und den Term mit 12 Potenzieren um Moivre vorzubereiten, dann haste deinen Term von oben.

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