ito integral erwartungswert

01.02.2013, 03:01	dinzeoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ito integral erwartungswert hi, folgendes problem: gegeben: $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ wiener prozess / brownsche bewegung. f(t) ist eine stetige funktion mit $\begin{eqnarray} \int f(t)dt<\infty \end{eqnarray}$ also keine zufallsvariable. folgende situation: ich möchte von $\begin{eqnarray} \int_t^T f(u)dW_u \end{eqnarray}$ den erwartungswert und die varianz ausrechnen. der erwartungswert den ich so rausbekomme wäre 0. varianz ist mehr ein ratespiel geworden, eventuell: $\begin{eqnarray} \sqrt{T-t}\cdot \left(\int_t^T f(u)du\right)^2 \end{eqnarray}$ ???
01.02.2013, 14:14	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin eher für $\begin{eqnarray} \int\limits_t^T (f(u))^2 ~ \dd u \end{eqnarray}$ , zumindest kommt das im Grenzprozess heraus, wenn man das Ito-Integral durch $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n-1} f(u_k)\cdot (W_{u_{k+1}}-W_{u_k}) \end{eqnarray}$ für Zerlegungen $\begin{eqnarray} t=u_0<u_1<\ldots<u_n=T \end{eqnarray}$ annähert.
01.02.2013, 15:37	dinzeoo	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh... danke. mein problem lag wohl darin, dass ich ein $\begin{eqnarray} T-t \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sqrt{T-t} \end{eqnarray}$ in der lösung erwarte, da $\begin{eqnarray} W_T-W_t\sim N(0,T-t) \end{eqnarray}$ gilt. hier mal mein ansatz um deine lösung zu erhalten: $\begin{eqnarray} V\left(\sum f(u_k)(W_{u_{k+1}}-W_{u_{k}})\right) \end{eqnarray}$ ich geh erstmal von einer konstanten feinheit von h aus also $\begin{eqnarray} u_{k+1}-u_{k}=h \end{eqnarray}$ . später müsste man sie ja gegen 0 laufen lassen. zusätzlich weiss man: $\begin{eqnarray} (W_{u_{k+1}}-W_{u_{k}})\sim N(0,h) \end{eqnarray}$ für alle k und alle diese summanden sind paarweise unabhängig. jetzt bin ich grob so vorgegangen: $\begin{eqnarray} V\left(\sum f(u_k)(W_{u_{k+1}}-W_{u_{k}})\right)=V\left(\sum f(u_k)\sqrt{h}Z_k\right)=V(Z_1)\cdot \sum f(u_k)^2h\rightarrow \int_t^{T}f(u)^2du \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} Z_k\sim N(0,1) \end{eqnarray}$ sowie alle $\begin{eqnarray} Z_k \end{eqnarray}$ paarweise unabhängig. hab ich da irgendwo einen fehler eingebaut oder passt das von deiner idee her?
01.02.2013, 18:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja passt. Das mit der gleichen Feinheit $\begin{eqnarray} h \end{eqnarray}$ braucht man gar nicht, man kann ja wegen der unabhängigen Zuwächse für alle Zerlegungen direkt argumentieren $\begin{eqnarray} V\left(\sum_k f(u_k) \left(W_{u_{k+1}}-W_{u_{k}}\right)\right) = \sum_k (f(u_k))^2 \cdot V\left( W_{u_{k+1}}-W_{u_{k}}\right) = \sum_k (f(u_k))^2 \left( u_{k+1}-u_{k}\right) \to \int\limits_t^T (f(u))^2 ~ \dd u \end{eqnarray}$
01.02.2013, 20:27	dinzeoo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, das ist noch besser. besten dank!

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