Korrelation [0,1] mit x,y unabhängig

01.02.2013, 09:26

likelihood

Korrelation [0,1] mit x,y unabhängig

Meine Frage:
Meine Aufgabe ist es corr(x,z) mit z=(x+y)² und x,y unabhängig gleichverteilt(0,1)

So weit bin ich:
corr(x,z)=cov(x,z)/Wurzel(Var(x)Var(z))

E(x)=1/2
Var(x)=1/12

Var(z)=Var(x²+2xy+y²)=Var(x²)+Var(2xy)+Var(y²)+2Cov(x²,2xy)+2Cov(2xy,y²)+2C
ov(x²,y²)

Var(x²)=Var(y²)=4/45
Var(2xy)=4Var(xy)=7/36
2Cov(x²,y²)=0, wegen unabhängig

Doch da steh ich nun an:
2Cov(x²,2xy)=4Cov(x²,xy)=4[E(x²,xy)-E(x²)E(xy)]....

zu meiner Frage:
Laut UniTutorium ist E(x²,xy)=E(x³)E(y) ...WARUM??

Meine Ideen:
So weit bin ich:
corr(x,z)=cov(x,z)/Wurzel(Var(x)Var(z))

E(x)=1/2
Var(x)=1/12

Var(z)=Var(x²+2xy+y²)=Var(x²)+Var(2xy)+Var(y²)+2Cov(x²,2xy)+2Cov(2xy,y²)+2C
ov(x²,y²)

Var(x²)=Var(y²)=4/45
Var(2xy)=4Var(xy)=7/36
2Cov(x²,y²)=0, wegen unabhängig

Doch da steh ich nun an:
2Cov(x²,2xy)=4Cov(x²,xy)=4[E(x²,xy)-E(x²)E(xy)]....

zu meiner Frage:
Laut UniTutorium ist E(x²,xy)=E(x³)E(y) ...WARUM??

01.02.2013, 09:35

Che Netzer

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RE: Korrelation [0,1] mit x,y unabhängig

Zitat:

Original von likelihood
zu meiner Frage:
Laut UniTutorium ist E(x²,xy)=E(x³)E(y) ...WARUM??

Das Komma soll wohl für eine Multiplikation stehen.
Da kannst du jedenfalls wieder die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ausnutzen.

01.02.2013, 10:14

likelihood

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Heisst das, dass ich so denken muss:

E(x²*x*y)=E(x³*y)=E(x³)E(y)?

01.02.2013, 10:18

Che Netzer

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Ja, denn potenzieren mit Drei erhält die Unabhängigkeit.

01.02.2013, 11:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von likelihood
Var(z)=Var(x²+2xy+y²)=Var(x²)+Var(2xy)+Var(y²)+2Cov(x²,2xy)+2Cov(2xy,y²)+2C
ov(x²,y²)

Hmm, ich weiß nicht, ob es angesichts dieser Kovarianz-Zerlegungsorgien (mit weiteren Unterverzweigungsrechnungen für diverse Teilkovarianzen) nicht besser ist, gleich direkt auf

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(U,V) = E(UV)-E(U)E(V) \end{eqnarray*}$

zurückzugreifen: Da ist dann aufgrund der Linearität des Erwartungswerts sowie der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(Z) = E(Z^2)-(E(Z))^2 \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} E(Z) = E((X+Y)^2) = E(X^2)+2E(X)E(Y)+E(Y^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E(Z^2) = E((X+Y)^4) = E(X^4)+4E(X^3)E(Y)+6E(X^2)E(Y^2)+4E(X)E(Y^3)+E(Y^4) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ ist bekannt, $\begin{eqnarray*} E(X^2) \end{eqnarray*}$ wäre auch über $\begin{eqnarray*} \operatorname{Var}(X) \end{eqnarray*}$ berechenbar ... aber man benötigt auch noch $\begin{eqnarray*} E(X^3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E(X^4) \end{eqnarray*}$ . Warum also nicht gleich für alle positiven $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Moment $\begin{eqnarray*} E(X^k) = \int\limits_0^1 t^k ~ \dd t \end{eqnarray*}$ ausrechnen, zumal das anschließend für

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X,Z) = E(XZ)-E(X)E(Z) \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} E(XZ) = E(X(X+Y)^2) = E(X^3)+2E(X^2)E(Y)+E(X)E(Y^2) \end{eqnarray*}$

auch nochmal gebraucht wird.

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