Max-Likelyhood-Schätzer

01.02.2013, 11:04	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Max-Likelyhood-Schätzer Hallo alle zusammen, Ich habe das mit dem MLS leider nie richtig verstanden und versuche mich gerade an einer entsprechenden Aufgabe. Seien $\begin{eqnarray} X_1,..,X_n \end{eqnarray}$ i.i.d ZV, geometrisch verteilt zum Parameter $\begin{eqnarray} \theta \in \Theta=]0,1] \end{eqnarray}$ . Es liegt also die Zähldichte $\begin{eqnarray} f_\theta(k)=(1-\theta)^{k-1}\cdot \theta \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} k\in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Gesucht ist der MLS $\begin{eqnarray} \theta^ \end{eqnarray}$ . Meine Idee: Ich berechne zunächst die Zähldichte $\begin{eqnarray} F_\theta(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} X=(X_1,..,X_n) \end{eqnarray}$ , und versuche diese dann das $\begin{eqnarray} \theta^* \end{eqnarray}$ , für welches $\begin{eqnarray} F_\theta \end{eqnarray}$ maximiert wird. $\begin{eqnarray} F_\theta(x)=\prod_{i=1}^n (1-\theta)^{x_i-1}\cdot \theta=\frac {\theta^n}{(1-\theta)^n}\cdot \prod_{i=1}^n (1-\theta)^{x_i} \end{eqnarray}$ Soll ich jetzt das versuchen abzuleiten, um so $\begin{eqnarray} \theta^* \end{eqnarray*}$ berechnen zu können, oder kann ich hier noch weiter vereinfach oder komplett anders and die Sache rangehen? MfG
01.02.2013, 11:44	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Max-Likelihood-Schätzer Könntest du tun, ja. Allerdings erweist es sich sehr oft als besser, eher den Logarithmus davon (die dann so genannte "Loglikelihoodfunktion") zu maximieren: Das Differenzieren von Produkten ist eine mühselige Angelegenheit - wenn man stattdessen nur eine Summe von Logarithmen abzuleiten hat, dann ist das eine wesentlich entspanntere Tätigkeit. P.S.: Ach ja, weiter vereinfachen (vor oder nach dem Logarithmieren) kannst du natürlich auch noch: Es ist $\begin{eqnarray} \prod_{i=1}^n (1-\theta)^{x_i} = (1-\theta)^{\sum\limits_{i=1}^n x_i} \end{eqnarray}$ .
01.02.2013, 15:55	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Max-Likelihood-Schätzer Danke für deine Hilfe. Ich habs jetzt mit der Logarithmus-Methode versucht, komme aber da auch nicht richtig weiter. $\begin{eqnarray} L(x)=ln(\prod_{i=1}^n (1-\theta)^{x_i-1}\cdot \theta)=\sum_{i=1}^n ln((1-\theta)^{x_i-1}\cdot \theta) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =ln((1-\theta)^{\sum x_i})+n\cdot (ln(\theta)-ln(1-\theta)) \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich ja das $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ finden, für welches $\begin{eqnarray} L(x) \end{eqnarray}$ maximiert wird. Über die Ableitung bin ich hier gelandet: $\begin{eqnarray} L'(x)=\sum x_i\cdot ln((1-\theta)^{\sum x_i-1})\cdot \frac {1}{1-\theta}+n\cdot (\frac {1}{\theta}-\frac {1}{1-\theta}) \end{eqnarray}$ Aber hier kann ich beim besten Willen nicht erkennen, wie es weiter gehen soll, also wie ich $\begin{eqnarray} L'(x)=0 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ auflösen kann. MfG
01.02.2013, 17:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe irgendwie den Eindruck, dass du auch zu denen gehörst, die bei der Behandlung der Logarithmengesetze in der Schule irgendwie nicht ganz anwesend waren: Es ist $\begin{eqnarray} L(\theta) = \ln\left( \prod_{i=1}^n (1-\theta)^{x_i-1}\cdot \theta\right) = \sum_{i=1}^n \left((x_i-1)\ln(1-\theta)+\ln(\theta) \right) = \left( \sum_{i=1}^n x_i - n\right)\cdot \ln(1-\theta) + n\cdot\ln(\theta) \end{eqnarray}$ , und dies nun nach $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ abzuleiten, kann doch nicht die große Hürde sein.
02.02.2013, 13:27	1nstinct	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich habs. Vielen Dank an dich HAL 9000 für deine super Hilfe .

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