Typ der Singularitäten bestimmen |
| 01.02.2013, 12:12 | Stefan03 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Typ der Singularitäten bestimmen wir haben letztens in der Uni den Typ der Singularitäten von einer Funktion bestimmt. Dazu hätte ich ein paar allgemeine Fragen. Bei haben wir den Kehrwert der Funktion f, also betrachtet, um sie auf den Typ der Singularitäten zu untersuchen Bei ging es "scheinbar" "direkt", siehe Betrag von mir Gibt es einen Trick, wann man sehen kann, wann man den Kehrwert betrachten muss und wann nicht? Oder sind die Funktionen "von Grund auf" verschieden? Eigentlich nicht...Beide haben im Nenner unendlich viele NS, jeweils einfach. Ok, bei g ist 0 eine doppelte NS des Zähler, aber sonst sind sie meiner Meinung ähnlich... |
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| 01.02.2013, 13:00 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Typ der Singularitäten bestimmen Den Kehrwert braucht man da nicht zu betrachten... Um herauszufinden, ob man eine Polstelle (oder hebbare Singularität/Nullstelle) hat, überlegt man sich, ob die Nullstelle im Nenner endlicher Ordnung ist. Wenn ja, dann bildet man die Differenz aus Ordnung der Nullstelle im Zähler und der Ordnung im Nenner. Nur bei so etwas wie muss man sich etwas überlegen. |
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| 02.02.2013, 10:27 | Stefan03 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, ok, das verstehe ich und das ist ja irgendwie immer das prinzipielle Vorgehen. Aber gibts dafür euch einen Satz, der das aussagt? Weil haben da da groß rumbewiesen, dass alle NS von sin einfach sind (ok, das sehe ich noch ein, dass das gemacht werden muss), aber dann haben wir "eine NS" auf dem sinus ausgeklammert und es bleibt eben eine andere Funktion übrig, die nicht mehr Null werden kann und dann kann ich die ausgeklamerte NS mit der des Nenners wegkürzen. Naja, ok, eigentlich ist das eben genau das, was zu zeigen ist 
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| 02.02.2013, 11:14 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, man könnte Zähler und Nenner als Potenzreihe darstellen. Die beginnen dann mit der Potenz, die auch Ordnung der Nullstelle ist. Dann kürzt man durch die Nennernullstelle, klammert dann so aus, dass der Zähler auch mit einer Konstante beginnt. Z.B. Auch mit statt . |
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| 02.02.2013, 17:42 | Stefan03 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, ok, soweit versteh ich alles. Nun noch ein Bsp: Die NS des Nenners sind wieder alle Vielfachen von pi und diese sind nun doppelt, wegen dem Sinus-Quadrat. Untersuchen der NS des Zählers: Der Zähler wird nie 0, also liegen Pole 2. Ordnung vor. Nun der Fall k=0: Der Zähler wird 0, also liegt eine Nullstelle vor und diese ist einfach. Also kann ich einmal die "0 wegkürzen" bzw. 2-1=1 rechnen und erhalte bei z=0 einen Pol 1. Ordnung. Laut VL-Skript liegt aber bei z=0 eine hebbare Singularität vor...Wir haben es mit der Reihenentwicklung bewiesen. |
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| 02.02.2013, 18:10 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso ist die denn einfach? |
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| 02.02.2013, 18:20 | Stefan03 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Habe ich jetzt einfach so behauptet
Aber wenn z=0 ist, fällt ja das -z weg und mit der Potenzreihenentwickllung von e, sin und cos werde ich vermutlich z^2 ausklammern können. Das muss ich mir nochmal anschauen. |
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| 02.02.2013, 18:24 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du kannst die Ordnung der Zählernullstelle auch als die Ordnung der Ableitung des Zählers bestimmen, bei der dieser erstmals nicht mehr Null ist. D.h. leite den Zähler so oft ab, bis Null keine Nullstelle mehr davon ist. Der Grad der dazu benötigten Ableitung ist die Ordnung der Nullstelle. |
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| 02.02.2013, 18:25 | Stefan03 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, das geht deutlich schöner. --> Grad der Zähler NS für z=0 ist 2 --> gleich der Vielfachheit der Nenner-NS --> hebbare Singularität |
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| 02.02.2013, 18:33 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, genau. |
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