Abwicklung iner Spirale um einen Zylinder

22.07.2004, 06:13	Regenkind	Auf diesen Beitrag antworten »
Abwicklung iner Spirale um einen Zylinder Hallo Ich habe folgendes Problem. Ich soll eine Rampe bauen die sich um einen Zylinder radius 15cm windet 44 grad gefaelle und eine 1/4tel umdrehung. Ich stehe jetzt vor dem Problem die Rampe auf einem Stueck Papier zu zeichnen und anzukleben. Wenn ich ein Stueck auschschneide mit dem Radius des Zylinders, so das es horizontal an den Zylinder passt, ist ja noch alles schoen und gut. Aber sobald ich das Stueck kippe, so das ich mein 44 gard gefaelle habe, passt die innenseite nicht mehr mit dem zylinder ueberein. Ich vermute das es die form einer ellipse haben muss... aber wie berechne ich die ? BTW, ich habe nur eine QWERTY tastatur, deswegen ue usw.... MfG Regenkind PS: Ich versuche gegen abend noch ein paar zeichnung anzufuegen um missverstaendnisse auszuraeumen
22.07.2004, 11:49	Bruce	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Regenkind, wenn ich dich richtig verstehe, hast Du folgendes Problem: Gegeben ist ein Zylinder Z, dessen Radius R=15cm beträgt und Du möchtest die Schnittlinie einer Ebene E mit Z berechnen. Der Normalenvektor von E schneidet die Achse von Z unter dem Winkel $\begin{eqnarray} \alpha=44^{\circ} \end{eqnarray}$ . Zur Lösung des Problems wähle ein dreidimensionales, cartesisches Koordinatensyste mit den Achsen x,y und z. Die x und y Achse werden so gewählt, daß sie in der Ebene E liegen und die Achse von Z soll durch den Ursprung dieses Koordinatensystems verlaufen. Die Achse des Zylinders ist also eine Gerade durch den Ursprung. Ihre Richtung kann in diesem Koordinatensystems durch einen Einheitsvektor $\begin{eqnarray} \mathbf{e} \end{eqnarray}$ repräsentiert werden und jeder Punkt durch einen Ortsvektor $\begin{eqnarray} \mathbf{r} \end{eqnarray}$ . Die Punkte auf Z haben von der Achse den Abstand R. In dem speziell gewählten Koordinatensystem kann dies durch eine Formel ausgedrückt werden: $\begin{eqnarray} (\mathbf{r}-(\mathbf{re})\,\mathbf{e})^2 = \mathrm{R}^2 \end{eqnarray}$ . Daraus folgt durch ausmultiplizieren unter Berücksichtigung der Tatsache, daß $\begin{eqnarray} \mathbf{e}^2=1 \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} \mathbf{r}^2-(\mathbf{r}\mathbf{e})^2=\mathrm{R}^2. \end{eqnarray}$ Du suchst nur Punkte in E, d.h. es gilt z=0. Außerdem können die x und y Achse so gewählt werden, daß $\begin{eqnarray} \mathbf{e_y}=0 \end{eqnarray}$ gilt. Mit $\begin{eqnarray} \mathbf{r}=(x,y,z=0) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbf{e}=(e_x,e_y=0,e_z) \end{eqnarray}$ folgt schließlich: $\begin{eqnarray} (1-e_x^2)x^2+y^2 = \mathrm{R}^2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} (\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a = \frac{\mathrm{R}}{\sqrt{1-e_x^2}} \quad b = \mathrm{R}. \end{eqnarray}$ Dies ist die Gleichung einer Ellipse, wie Du richtig vermutet hast. Wenn ich die Situation richtig überblicke, müßte $\begin{eqnarray} e_x = \cos(\alpha) \end{eqnarray}$ gelten. Na denn viel Spaß beim Basteln ! Kleine Frage noch: Wieso hast Du eine amerikanische Tastatur? Befindest Du dich zur Zeit im Ausland?
22.07.2004, 22:27	Regenkind	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke fuer die schnelle Antwort. Es hat soweit funktioniert. MfG Regenkind PS: Ich bin in den USA

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