Beweis durch Induktion

01.02.2013, 14:48

hoernchen

Beweis durch Induktion

Meine Frage:
Hallo,

ich soll anhand von Induktion beweisen, dass für jedes natürliche n>1 gilt:

$\begin{eqnarray*} 2!4!...(2n)! > ((n+1)!)^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin mir leider gar nicht sicher, ob ich die linke Seite richtig verstehe.

Sagen wir, n=2, dann

$\begin{eqnarray*} 2!(2*2)! > ((2+1)!)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 48 > 36 \end{eqnarray*}$

Wenn das so stimmt, wäre der Induktionsanfang ja schon getan.

Nun zum Induktionsschritt. Bewiesen werden soll, dass die Ungleichung auch für n+1 gilt.

Ich dachte, dass folgendes bewiesen werden müsste:
$\begin{eqnarray*} 2!4!...(2n+1)! > ((n+2)!))^{n+1} \end{eqnarray*}$

In der Lösung steht es aber so:

$\begin{eqnarray*} 2!4!...(2n)! (2n+2)! > ((n+2)!))^{n+1} \end{eqnarray*}$

Warum ist das so? Oder sind die Ausdrücke etwa gleich?

Danke!

01.02.2013, 14:52

klarsoweit

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RE: Beweis durch Induktion
Dann ersetze mal in 2n das n durch (n+1). Augenzwinkern

03.02.2013, 10:13

hoernchen

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RE: Beweis durch Induktion
und dann?? Ich weiß leider nicht, wie mir das dann weiterhilft...

03.02.2013, 10:18

Mulder

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RE: Beweis durch Induktion
Wenn du in $\begin{eqnarray*} (2n)! \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ ersetzt, erhälst du $\begin{eqnarray*} (2(n+1))! = (2n+2)! \end{eqnarray*}$ .

03.02.2013, 10:19

Monoid

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RE: Beweis durch Induktion
Dann hast du das, was du zeigen sollst ( im I.S. ). Das willst du doch auch erstmal wissen oder?

03.02.2013, 11:21

hoernchen

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Okay.

Aber kann ich auch mit dem arbeiten, was ich aufgeschrieben hatte, oder ist das falsch?

03.02.2013, 11:29

Monoid

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Wenn das gelten WÜRDE, würde das auch gehen. Aber zeig einfach das, was du auch zeigen musst.

03.02.2013, 11:38

hoernchen

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Aber warum gilt es denn nicht? Man prüft doch immer für n+1. Warum kann ich denn dann nicht einfach n+1 einfügen, sondern multipliziere mit (2n+2)!?
Ich glaube, ich hab die Induktion noch nicht so ganz verstanden. Ich hänge nömlich immer wieder an dieser Stelle.

03.02.2013, 11:53

Mulder

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Zitat:

Original von hoernchen
Aber warum gilt es denn nicht? Man prüft doch immer für n+1. Warum kann ich denn dann nicht einfach n+1 einfügen, sondern multipliziere mit (2n+2)!?
Ich glaube, ich hab die Induktion noch nicht so ganz verstanden. Ich hänge nömlich immer wieder an dieser Stelle.

Das hat nichts mit Induktion zu tun, mir scheint eher, du hast das Prinzip "Punkt vor Strich" nicht verstanden. Und das scheint mir im Hochschulbereich etwas bedenklich...

Der Faktor 2 in der Klammer bezieht sich auf das n. Das n wird verdoppelt. Wenn du nun das n durch n+1 ersetzt, muss sich die 2 doch dann auch auf das gesamte n+1 beziehen.

03.02.2013, 12:03

hoernchen

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Okay, aber warum "behält" man den den Term $\begin{eqnarray*} (2n)! \end{eqnarray*}$ ? Und verbleibt nicht nur mit $\begin{eqnarray*} (2n+2)! \end{eqnarray*}$ ?

03.02.2013, 12:08

Mulder

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Weil ein Faktor hinzu kommt, wenn du das n durch n+1 ersetzt.

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (2i)! \end{eqnarray*}$

ist das, was da auf der linken Seite eigentlich steht, wenn man es mit diesem Produktzeichen darstellt.

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^n (2i)! = 2! \cdot 4! \cdot ... \cdot (2n)! \end{eqnarray*}$

Ersetzt man nun das n durch n+1, ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \prod_{i=1}^{n+1} (2i)! = \left ( \prod_{i=1}^n (2i)! \right ) \cdot (2(n+1))! = ... \end{eqnarray*}$

03.02.2013, 12:21

hoernchen

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Danke dir! Jetzt hab ichs!

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