Integral residuum

01.02.2013, 16:16

Hanna91

Integral residuum

Meine Frage:
hi

hab ein problem mit einm integral
bzw kriege ich ein anderes ergebnis raus als das was rasukommen sollte aber finde den fehler in meiner rechnung nicht

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{\sqrt x}{x^2 +1}\, dx \end{eqnarray*}$

also das ist das integral ich will es mit dem residimssatz berechnen
das geht eigentlich auch ganz gut wie ich fand also das hab ich gemacht bis jetzt

$\begin{eqnarray*} \int_0^\infty \! \frac{\sqrt x}{x^2 +1}\, dx = \frac{1}{2} \int_\infty ^\infty \! \frac{\sqrt x}{x^2 +1}\, dx \end{eqnarray*}$

das obere soll ein minus unendlich sein ^^
ok also dann seh ich hat nur eine polstele in der oberen halbachse also muss ich nur das residium um i berechnen oder?

$\begin{eqnarray*} RES ( \frac{\sqrt x}{x^2 +1} ; i) = \lim_{x \to i} (x-i)\frac{\sqrt x}{x^2 +1} \end{eqnarray*}$

deb grenzwert will ich jetzt mit der regeln von l´hospital berechnen also oben und unten ableiten und
$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{3x-i}{2\sqrt x}}{2x} \end{eqnarray*}$ das alles nach i streben lassen und mit pi imultiplizieren
und dannerhalt ich asl endergebnis :

$\begin{eqnarray*} \frac{\pi i}{2 \sqrt i} \end{eqnarray*}$
eigentlich ganz schön aber wenn ich das z.B. bei wolfram alpha eingebe gibt er als ergebnis aus :
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{ \sqrt 2} \end{eqnarray*}$

jetzt frag ich mich wo der fehler ist eine gewisse ähnlichkeit haben die ergebnisse ja ^^

01.02.2013, 16:57

Che Netzer

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RE: Integral residium
Die Wurzel im Zähler verdirbt dir hier alles.

Übrigens heißt es Residuum und Residuensatz – nicht Residium und Residimssatz Augenzwinkern

01.02.2013, 16:59

Leopold

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RE: Integral residium
Schon der erste Umformungsschritt ist falsch. Die reelle Wurzel ist für negative $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gar nicht definiert, erst recht keine gerade Funktion.
Damit sind auch alle Folgerungen falsch. Darüberhinaus scheinst du später eine Regel anzuwenden, die nur für gewisse Integrale über rationale Funktionen gilt und eine Anwendung des Residuensatzes ist. Ist die Funktion nicht rational, kannst du folglich auch die Regel nicht anwenden. Grundregel Nr. 1 in der Mathematik: Voraussetzungen eines Satzes oder einer Regel beachten! Du kannst ja schließlich den Satz des Pythagoras auch nicht auf ein spitz- oder stumpfwinkliges Dreieck anwenden.
Eine Möglichkeit, das Integral zu berechnen, wäre die reelle Substitution $\begin{eqnarray*} x = t^2 \end{eqnarray*}$ . Danach bekommst du ein Integral über eine gerade (!) rationale (!) Funktion. Auf die paßt dann dein Vorgehen.

01.02.2013, 20:50

Hanna91

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ok danke schonmal
ja stimmt da hätt ich mal dran denken

aber habs jetzt mit der transformation gemacht und komme auf
$\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2\sqrt2} \end{eqnarray*}$

is ja immer noch nicht richtig habs jetz 3mal durchgerechnet und immer das selbe ergebnis das verwirrt mich = /

01.02.2013, 21:35

Che Netzer

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Hast du vielleicht den Faktor Zwei bei der Substitution vergessen?

Mehr kann man da nicht sagen, ohne deine Rechnung zu sehen.

01.02.2013, 21:47

Hanna91

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hm nagut dan tipp ich mal die rechnung ein ^^

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_\infty ^\infty \! \frac{2t^2}{t^4+1} \, dt \end{eqnarray*}$

die zwei hab ich dann vorgezogen und die residuen um die punkte

$\begin{eqnarray*} \frac{1+i}{\sqrt2} ; \frac{i-1}{\sqrt2} \end{eqnarray*}$

und erhalte für die beiden dann
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4 \frac{1+i}{\sqrt2} } ; \frac{1}{4 \frac{i-1}{\sqrt2} } \end{eqnarray*}$

addier ich dann und kriege
$\begin{eqnarray*} - \frac{i}{4\sqrt2} \end{eqnarray*}$

und dann noch mal
$\begin{eqnarray*} 2\pi i \end{eqnarray*}$

udn dann krieg ich das ergebnis was ich gesagt hab = /

01.02.2013, 21:53

Che Netzer

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Zitat:

Original von Hanna91
und erhalte für die beiden dann
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4 \frac{1+i}{\sqrt2} } ; \frac{1}{4 \frac{i-1}{\sqrt2} } \end{eqnarray*}$

Hier habe ich jeweils eine Zwei statt einer Vier.

01.02.2013, 21:56

Hanna91

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hm ok aber warum ^^

meine 4 kommt ja vom ableiten bei t^4 zu stande wie kann das eine 2 werden =?

01.02.2013, 22:08

Che Netzer

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Die kürzt sich doch mit der Zwei aus dem Zähler zu einer Zwei.
Oder hast du die schon mit dem Vorfaktor verrechnet?
Wenn ja, dann passt doch alles.

01.02.2013, 22:18

Hanna91

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wenn ich das 1/2 vor dem integral wegnehmen würde würde sich das zusammenkürze aber das brauch ich doch oder? weil das urspürngliche integral von 0 nach unendlich und das neue von - unenldich nach + unendlich geht

wenn ich dann die zwei vo den 2t^2 vor das integral bleibt ja nichts was igrendwo noch kürzen könnte es kürzt sich nur einmal noch beim mal 2 pi i am ende =/
ich starr schon die ganze zeit auf meine blöde rechnung und seh den fehler einfach nicht

01.02.2013, 22:26

Che Netzer

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Dann schreib die Rechnung doch mal sauber auf.
Wovon genau hast du das Residuum berechnet, etc.?

01.02.2013, 22:45

Hanna91

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hmpf ok

$\begin{eqnarray*} Res ( \frac{t^2}{t^4+1} ; \frac {1+i}{\sqrt2} ) = \lim_{t \to t_1 } (t- \frac {1+i}{\sqrt2} ) \frac{t^2}{t^2+1} \end{eqnarray*}$

dann multipliziere ich halt einfach aus leite ab und setze ein ^^

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to t_1 } \frac{t^3 -t^2( \frac {1+i}{\sqrt2})}{t^4+1}<br /> \end{eqnarray*}$
und jetzt beim ableiten entschteht die böse 4 ^^

01.02.2013, 22:50

Che Netzer

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Wieso ist die Vier denn böse?
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty\frac{t^2}{t^4+1}\dd t=2\pi\mathrm i\left(\frac{1}{4 \frac{1+i}{\sqrt2} } + \frac{1}{4 \frac{i-1}{\sqrt2} }\right)\,. \end{eqnarray*}$

01.02.2013, 22:56

Hanna91

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na ich klammer sie aus dann kürzt sie sich zu einer 2 und dann echne ich einfach nur die brüche aus erhalte $\begin{eqnarray*} \frac{-i}{\sqrt2 } * \frac{\pi i}{2} \end{eqnarray*}$

01.02.2013, 23:04

Che Netzer

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Da erhalte ich auf der rechten Seite etwas anderes.

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