fast überall stetig |
| 01.02.2013, 16:20 | chrissy90 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| fast überall stetig Hallo! Es ist wahrscheinlich eine total banale Frage... Ich beschäftige mich gerade (zur Vorbereitung auf die Uni) mit Analysis. Ich einen Buch habe was über "fast überall stetige Funktionen" gelesen. Nun will ich wissen, ob ich das richtig verstanden habe. Meine Ideen: Ist es richtig, das beispielsweise die Funktionen f:[-1; 1] --> R, f(x)=1/x und ) fast stetig ist aber nicht stetig (weil sie im Nullpunkt unstetig sind)? Kann man das so sagen? |
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| 01.02.2013, 16:38 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: fast überall stetig das sind schlechte beispiele. die zweite funktion ist überall stetig (als verkettung stetiger funktionen), die zweite ist in 0 überhaupt nicht definiert - würde man bei dieser z.b. noch f(0)=0 definieren so wäre sie in 0 nicht stetig und damit "fast überall" auf IR stetig. dass eine aussage (über einee funktion bzw. raum - hier IR) "f. ü." (bezüglich eines maßes) gilt bedeutet im übrigen, dass sie überall gilt, bis auf eine menge, die das maß 0 hat (nullmenge) - was du dir erstmal als volumen bzw länge oder so vorstellen kannst. also zb ein einzelner punkt hat in IR die länge 0, also funktionen die in genau einem punkt nicht stetig sind sind damit fast überall stetig. du kannst dir überlegen was es noch alles für nullmengen gibt (in IR, IR^2,...). lg edit: die leere menge ist übrigends trivialerweise nullmenge, womit überall stetige funktionen auch fast-überall stetig sind. |
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| 01.02.2013, 20:48 | chrissy90 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die Antwort! Deinen ersten beiden Sätzen konnte ich noch folgen - dannach verstehe ich leider nicht, was du meinst (ich studiere noch nicht). Aber ich glaube ich habe es verstanden. Nochmal ein anderes Beispiel: f: [-1;1] --> R Wäre das dann ein Fall für eine Funktion, die auf [-1; 1] fast überall stetig ist, aber nicht stetig? |
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| 01.02.2013, 23:11 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja. Alle Funktionen, die nur endlich viele Unstetigkeitsstellen haben, sind fast überall stetig (wenn wir mal in mit "Standardausstattung" sind). Gleiches gilt auch bei abzählbar vielen Unstetigkeitsstellen, falls dir das etwas sagt. |
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