Menge abzählbar (ungerade natürliche Zahlen) |
| 01.02.2013, 17:41 | StevenSpielburg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Menge abzählbar (ungerade natürliche Zahlen) ich habe eine Frage, und zwar zur abzählbarkeit von den ungeraden natürlichen Zahlen. Gesucht ist also eine bijektive Abbildung. Streng nach Definition: Es sei f: M->N eine Abb. f heißt... injektiv, wenn für alle x1,x2eM gilt x1!=x2 und f(x1)!=f(x2) surjektiv, wenn für jedes yeN ein xeM existiert mit f(x)=y. Meine 1. Frage: Die Menge M, ist doch die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen und die Menge N ist die Menge der natürlichen Zahlen. Also versuche ich, eine bijektive Abbildung zu finden, von den ungeraden nat. Zahlen auf die nat. Zahlen? (oder vllt doch andersrum?) Soweit so gut. Meine Bildungsvorschrift lautet: f(n)=(n+1)/2 injektiv: (x1+1)/2=(x2+1)/2 x1=x2 surjektiv: f(x)=(x+1)/2 => x=2y-1 f(2y-1)=(2y-1+1)/2=y somit bijektiv. Frage zur surjektivität: wenn ich umstelle nach x, habe ich ja dor stehen x=2y-1 also setzte ich für y die nat. Zahlen ein (1,2,3,4,....) und muss dann für mein x eine ungerade Zahl aus der Menge M herausbekommen oder? 2. Lösungsvorschlag: f(n)=2n-1 nach Def. wie oben. injektiv: 2x1-1=2x2-1 x1=x2 surjektiv: f(x)=2x-1 y=2x-1 => x=(y+1)/2 Jetzt müsste ich ja wieder für y alle natürlichen Zahlen einsetzen können und es müsste immer eine ungerade nat. Zahl herauskommen. Also zum Beispiel y=2 => x=3/2, 3/2 ist kein Element aus M, und somit ist die Abbildung nicht surjektiv. Habe ich das alles so richtig verstanden? |
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| 01.02.2013, 17:58 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Menge abzählbar (ungerade natürliche Zahlen) ich habe nur die ersten zeilen gelesen: abzählbarkeit von M bedeutet dass es eine surjektion IN -> M gibt (bijektivität ist nicht notwendig, z.b. sind alle endlichen mengen abzählbar). lg |
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| 01.02.2013, 17:59 | StevenSpielburg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
dann lies doch bitte mal weiter |
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| 01.02.2013, 18:14 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
nagut.......... 
deine erste bijektion ist richtig und du hast die bijektivität auch richtig bewiesen. zu der frage: ja. die zweite wäre die inverse deiner ersten abbildung wenn du def.- und wertebereich vertauschst; die ist natürlich nicht surjektiv, deine begründung kann man etwa akzeptieren. aber wie gesagt ist das meiste ziemlich überflüssig für die eigendliche aufgabe. lg |
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| 01.02.2013, 18:22 | StevenSpielburg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay das hilft mir schon mal sehr viel weiter. Also suche ich immer eine Abbildung, in die ich die gegebene Menge einsetze und versuche dann diese den natürlichen Zahlen zuzuordnen? Auf dieses Beispiel bezogen setze ich für n nur ungerade Zahlen ein und erwarte dann die Menge der natürlichen Zahlen?! |
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| 01.02.2013, 18:26 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
nein, andersrum, so wie ich im ersten post geschrieben hab - es muss eine surjektion von IN in die zu untersuchende menge geben! (das hast du hier natürlich dadurch erreicht, dass du eine bijektion in die andere richtung angegeben hast, das ist aber nicht notwendig und deshalb auch nicht immer möglich) lg |
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| 01.02.2013, 18:36 | StevenSpielburg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
mhhh okay bei meiner ersten abbildung, setze ich ja für n meine ungeraden zahlen ein und bekomme natürlichen zahlen heraus?! also 1+1/2 =1 3+1/2=2 .... kannst du mir vllt nochmal dann genau sagen, wie ich im allgemeinen fall vorgehe? die vorgehensweise, so wie ich sie beschrieben haben wird auch in der klausur verlangt. also muss ich das so ausführlich schreiben. also meinst du mit der surjektion, dass wenn ich dort stehen habe x=2y-1 und y ja element aus N ist setze ich N in y ein und bekomme so meine Elemente der Zielmenge? |
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| 01.02.2013, 19:04 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also nennen wir mal die menge der ungeraden zahlen U.
nochmal: per definition ist eine menge M abzählbar wenn es eine surjektive abbildung IN -> M gibt - und das finden einer solchen abbildung oder der beweis ihrer existenz ist das allgemeine vorgehen. deine erste abbildung ist eine bijektion U -> IN - soeine anzugeben ist wie gesagt nicht notwendig für abzählbarkeit von U, aber damit hast du schon bewiesen, dass es eine surj. abbildung IN -> U gibt (nämlich die umkehrabbildung - das wäre dann die "abzählung").
verstehe ich nicht.. ziel ist es wie schon mehrfach gesagt einfach nur eine surjektion (surjektive abbildung) IN -> U zu finden. eine hast du schon angegeben: f(n) = 2n-1 (ge-edit-et), surjektivität beweist man dann ungefähr wie dus gemacht hast. eine "triviale" abzählung wäre auch die funktion, die alle ungeraden nat. zahlen auf sich selbst, und die geraden auf irgendeine ungerade zahl abbildet. lg |
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| 01.02.2013, 20:02 | StevenSpielburg | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay ich mache mir also Gedanken über die surjektivität Das wäre dann hier f(x)=(x+1)/2 nach x umgestellt x=2y-1 Somit kann ich jetzt für y alle n Einsetzen und bekomme immer eine Ungerade Zahl heraus. Also N->U Meine Abbildung ist aber auch injektiv und somit bijektivität, soweit richtig? Jetzt bei meinem 2. Lösungsvorschlag habe ich ja f(n)=2n-1 Die Abbildung kann ich ja auch umstellen nach (y+1)/2=x Wenn ich dort jetzt ungerade Zahlen einsetze bekomme ich auch neN raus. Wierum ist es richtig? Mein Problem ist einfach, das ich nicht genau weiß wie rum ich es sehen muss Und was ich wann einsetzen muss damit ich das richtig beweisen kann. Also was ich jetzt für mein x oder y oder.... Einsetzen muss. Wenn ich jetzt eine Abbildung von U->N habe wo muss ich dann die Elemente Aus U einsetzen? |
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| 02.02.2013, 16:27 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
sry, ich hab im letzten post die falsche funktion hingeschrieben (siehe edit).
hier konntest du - weil die funktion invertierbar ist - einfach "umstellen", so hast du dann n(u) (n in abh. von u) gefunden, das geht aber nicht immer so leicht. lg |
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