Lösung von Z bestimmen :D

01.02.2013, 18:21	M4rk	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung von Z bestimmen :D Meine Frage: Eine schöne Altklausuraufgabe, die mir Kopfschmerzen bereitet. Bestimmen Sie die Lösung $\begin{eqnarray} z \in C, Re(z) \times Im(z) < 0 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} z^5 \times \vec{z}^2 = -128 \times \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Mein Ansatz: $\begin{eqnarray} z^3 \times z^2 \times \vec{z}^2 = \frac{-128}{\sqrt{2}}+\frac{128}{\sqrt{2}} \times i <br /> \Rightarrow z^3 \times (z \times \vec{z})^2 = \frac{-128}{\sqrt{2}}+\frac{128}{\sqrt{2}} \times i<br /> \Rightarrow z^3 \times (\|z\|^2)^2 = \frac{-128}{\sqrt{2}}+\frac{128}{\sqrt{2}} \times i \end{eqnarray}$ Dann nach dem Satz von Moivre: $\begin{eqnarray} z^3 \times \|z\|^4 = \|z\|^3 \times(\cos(3 \times phi)+i \times \sin(3 \times phi)) \times \|z\|^4<br /> z^3 \times \|z\|^4 = \|z\|^7 \times(\cos(3 \times phi)+i \times \sin(3 \times phi)) \end{eqnarray}$ Jedoch kriege ich für den Betrag: $\begin{eqnarray} \|z\|=\sqrt[7]{(\frac{-128}{\sqrt{2}})^2 +(\frac{128}{\sqrt{2}})^2} =0 \end{eqnarray}$ Und das hilft mir herzlich wenig, irgendwer Tips?
01.02.2013, 18:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
So geht es richtig: $\begin{eqnarray} \|z\|^7 = \left\| - \frac{128}{\sqrt{2}} \left( 1 + \operatorname{i} \right) \right\| = \frac{128}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = 128 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} \|z\| = 2 \end{eqnarray}$ , womit der Ansatz $\begin{eqnarray} z = 2 \operatorname{e}^{\operatorname{i}t} \end{eqnarray}$ erfolgversprechend ist. Verwende übrigens gebräuchliche Bezeichnungen. Für die konjungiert komplexe Zahl etwa $\begin{eqnarray} \bar{z} \end{eqnarray}$ , für die komplexe Multiplikation $\begin{eqnarray} \cdot \end{eqnarray}$ und so weiter. Es ist sehr irritierend, wenn man da einen Vektorpfeil $\begin{eqnarray} \vec{z} \end{eqnarray}$ und ein Kreuz $\begin{eqnarray} \times \end{eqnarray}$ sieht. Man denkt, man sei in der Vektorrechnung des dreidimensionalen reellen Raumes. Dabei geht es nur um komplexe Zahlen.
01.02.2013, 18:48	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
und um noch deine Frage zu beantworten: Unter der Wurzel steht die Summe zweier Quadrate. \|z\| ist also mitnichten null sondern, wie Leopold schon zeigte, 2

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