Waagrechte Asymptoten

01.02.2013, 18:30

chocolate29

Waagrechte Asymptoten

Meine Frage:
Hallo alle zusammen smile

Ich habe ein Problem mit der folgenden Funktion
f(x)= (1+3x) / ((x-4)*(x+2))
Es soll untersucht werden, ob waagrechte Asymptoten vorliegen.

Meine Ideen:
Es gilt ja Zählergrad > Nennergrad, daher könnte man ja annehmen dass es eine waagrechte Asymptote mit der Geraden y= 0 gibt. Wenn man sich aber den Graphen mal anschaut dann ist zu sehen, dass die Asymptote bei x=0 unterbrochen wird. Wie kann ich das aber rechnerisch feststellen?

Ich hoffe ich konnte mein Problem verständlich ausdrücken. Wäre über jede Hilfe dankbar.

01.02.2013, 18:42

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Ich würde die Klammern im Nenner auflösen, die x mit dem größten Exponenten ausklammern und die Grenzwerte berechnen.

Eigentlich sieht man auch, dass die Nennerfunktion einen höheren Grad hat, als die Zählerfunktion.
Was ist dann wohl waagerechte Asymptote?

01.02.2013, 18:43

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RE: Waagrechte Asymptoten

Zitat:

Original von chocolate29

Es gilt ja Zählergrad > Nennergrad, daher könnte man ja annehmen dass es eine waagrechte Asymptote mit der Geraden y= 0 gibt. Wenn man sich aber den Graphen mal anschaut dann ist zu sehen, dass die Asymptote bei x=0 unterbrochen wird. Wie kann ich das aber rechnerisch feststellen?

1. Du meinst wohl Zählergrad < Nennergrad.
2. Die Asymptote wird bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ vom Graphen geschnitten.
3. y=0 ist trotzdem Asymptote. Auch wenn der Graph diese Gerade schneidet.

01.02.2013, 18:46

chocolate29

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Tut mir leid ich hab mich vertippt ich meine Zählergrad <Nennergrad, DANN ist ja y=0 ... aber meine Frage ist immer noch nicht beantwortet unglücklich

01.02.2013, 18:49

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Naja ich versteh nicht ganz das Problem.

Wie du rechnerisch feststellt, ob die Asymptote den Graphen schneidet?

Setz einfach die Funktion mit der Asymptotenfunktion gleich.

In dem Fall $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ .

01.02.2013, 18:57

chocolate29

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Also wir haben ja gerade rechnerisch mit dem Zählergrad und dem Nennergrad festgestellt, dass die senkrechte Asymptote die Gleichung y=0 hat. Aber wenn ich die Funktion in meinem Taschenrechner zeichnen lasse dann sieht es so aus :

Die waagrechte Asymptote wird doch somit unterbrochen. Verstehst du, was ich meine? Es ist schwer richtig zu erklären

01.02.2013, 19:25

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Wir müssen jetzt erstmal senkrechte und waagerechte Asymptoten trennen.

Zitat:

Original von chocolate29
... dass die senkrechte Asymptote die Gleichung y=0 hat.

Das geht gar nicht. $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ ist eine waagerechte Asymptote.

Die senkrechten Asymptoten sind:

$\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=4 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von chocolate29
Die waagrechte Asymptote wird doch somit unterbrochen. Verstehst du, was ich meine? Es ist schwer richtig zu erklären.

_________________________________________
Zu der waagerechten Asymptote. Du hast recht. Die Asymptote wird "unterbrochen" (du meinst sicher, sie schneidet den Graphen). Das heißt doch aber nicht, dass $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ keine Asymptote ist. Der Graph nähert sich trotzdem der 0 an. $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ ist trotzdem Asymptote, auch wenn der Graph die Asymptote berühert.

01.02.2013, 20:30

original

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RE: Waagrechte Asymptoten
Wink

chocolate29 ->

offenbar hast du ein Problem damit, dass deine Kurve die Asymptote schneidet?

Nun, die Asymptote ist sowas wie eine Tangente im "Fernpunkt" der Kurve
und dabei spielt es keine Rolle, was im Bereich endlicher x-Werte sonst noch abläuft..

denn da ist es wie bei jeder Tangente in irgend einem Kurvenpunkt irgendwelcher Kurven ->
eine Tangente darf die Kurve in (vom Berührpunkt verschiedenen) weiteren Kurvenpunkten problemlos schneiden..

Schau dir dazu vielleicht mal diese Beispiel an :
die Tangente mit Berührpunkt im Punkt (0/0) der Kurve y=x^3 - 4x^2
schneidet diese Kurve dann später im Punkt (4/0) kräftig durch ..
und ist eben trotzdem Kurventangente (in (0/0))

jetzt zufrieden mit deiner Asymptote y=0, die sich erdreistet, die Kurve dann
sonstwo noch zu schneiden? - sie darf das !

02.02.2013, 13:11

chocolate29

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RE: Waagrechte Asymptoten
Vielen vielen Dank euch!!! Habe es jetzt verstanden smile

02.02.2013, 14:15

chocolate29

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RE: Waagrechte Asymptoten
Noch eine kleine Frage... ich schreibe das ganze ja mit Hilfe von lim auf. Es würde doch normalerweise heißen limf(x)=0 ( und unter lim: x--> +/- oo) ... Kann ich das das auch bei diesem Beispiel so schreiben? Weil bei x-->-oo läuft das Schaubild ja nicht immer gegen 0

02.02.2013, 15:38

original

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RE: Waagrechte Asymptoten
$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{1+3x}{(x-4)(x+2)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von chocolate29
Noch eine kleine Frage... ich schreibe das ganze ja mit Hilfe von lim auf. Freude

Es würde doch normalerweise heißen limf(x)=0 ( und unter lim: x--> +/- oo) ...
Kann ich das das auch bei diesem Beispiel so schreiben? ja .. aber getrennt mit 2 Grenzwerten - siehe unten
Weil bei x-->-oo läuft das Schaubild ja nicht immer gegen 0 ..<- wieso meinst du das?

.. bei deinem Beispiel ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to {-\infty }} \frac{1+3x}{(x-4)(x+2)} = 0^{-} \end{eqnarray*}$ .. also von "unten" gegen 0

und
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to {+\infty }} \frac{1+3x}{(x-4)(x+2)} = 0^{+} \end{eqnarray*}$ .. also von "oben" gegen 0

ok?

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