Eine erweiterte arithmetik, was meint ihr?

01.02.2013, 19:12	Pino86	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine erweiterte arithmetik, was meint ihr? hallo, ich habe letztens ein wenig über die arithmetische algebra gegrübelt und deren zusammen hänge zur potzenz und den hyper operatoren. Mir ist dabei aufgefallen als ich eine sinnvolle verknüpfung suchte die beim logorithmieren, wie die multiplikation auf die addition abgebildet wird die addition eben auf diese verknüpfung abblidet. das allen anschein gilt: ich bennen die verknüpfung in infix notation mit $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ e ist die natürliche zahl, ln der natürliche logorithmus i die imaginär einheit. $\begin{eqnarray} ln(a) \oplus ln(b)=ln(a+b) \end{eqnarray}$ substituiere a und b. $\begin{eqnarray} a:=e^u \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b:=e^v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ln(e^u) \oplus ln(e^v)=ln(e^v+e^u)<br /> u \oplus v=ln(e^v+e^u) \end{eqnarray}$ damit ist $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ definiert als $\begin{eqnarray} u \oplus v=ln(e^u+e^v) \end{eqnarray}$ schaut doch mal schon hübsch aus oder? kommen wir zu den gruppen eigenschaften. $\begin{eqnarray} x \oplus (y \oplus z)=ln(e^x+e^{ln(e^y+e^z)})=ln(e^x+e^y+e^z) \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ assozativ und wie zu erkennen auch kommutativ. zudem gilt wenn ln(0) als einheits element "erlaubt" ist bzw als eine art 'dunkle' konstante definiert wird. (ich weis ln(0) das ergibt eigentlich $\begin{eqnarray} -\infty \end{eqnarray}$ , aber es ist anzumerken das bei der algebra über eine elliptische kurve auch ein unendlichkeits punkt als einheit zulässig ist) unter diesen bedingungen: $\begin{eqnarray} <br /> x \oplus ln(0)=x<br /> ln(e^x+e^{ln(0)})=x<br /> ln(e^x+e^{-\infty})=x<br /> \end{eqnarray}$ außerdem gibt es anscheinend eine inverse (und hier bin ich ein wenig skeptisch mir selbst gegenüber und möchte eure meinung dazu hören da diese nicht absolut eindeutig ist, jedoch ein leicht berechenbarer kern ensteht). durch den zusammenhang $\begin{eqnarray} -1=e^{t\pii} \end{eqnarray}$ mit ungeraden ganzzahligen t. kann eine inverse gebildet werden: $\begin{eqnarray} <br /> x \oplus (x+t\pii)=ln(0)<br /> ln(e^x+e^{t\pii+x})=ln(0)<br /> ln(e^x+e^{t\pii}e^x)=ln(0)<br /> ln(e^x-e^x)=ln(0)<br /> ln(0)=ln(0)<br /> \end{eqnarray}$ (ist hier der schluss der gleichheit gültig? also ln(0)=ln(0)) außerdem gilt $\begin{eqnarray} (x+z)\oplus(y+z)=(x \oplus y)+z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+ln(e^y+e^z)=ln(e^x)+ln(e^y+e^z)=ln(e^x(e^y+e^z))=ln(e^{y+x}+e^{z+x}) \end{eqnarray}$ es ist sinnvoll hier + vor $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ zu definieren. allerdings würde das wohl unübersichtlich werden die klammern weg zu lassen. es ist anscheinend so das wenn dies alles gültig ist, ein körper morphismus mit ln als übergangsfunktion entsteht. Ich bin kein spzialist, aber ich finde es bemerkenswert das die potenz auf multiplikation, multiplikation auf addition und addition auf $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ abgebildet wird. und sozusagen ein art verschiebung statt findet. zudem lässt sich nachprüfen dies alles auch für ln(ln(...(ln(e^e^...^e^x+e^e^...^e^y)...))) gilt also $\begin{eqnarray} e\bullet_{-c}(e\bullet_{c}x+e\bullet_{c}y) \end{eqnarray}$ wobei hier mit $\begin{eqnarray} \bullet_{c} \end{eqnarray}$ der hyperoperator in infix notation gemeint ist, für gebiliebge natürliche bzw. eventuell sogar negative c gilt. diese sind alle untereinander (inklusive der normalen arithetik) kompatibel. dabei bilden $\begin{eqnarray} \bullet_{c} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \bullet_{c-1} \end{eqnarray}$ einen körper. Ich weis das wirkt irgendwie sinnlos, da man ja anscheinend die logorithmen nicht los wird und das ganze wieder zur einer normalen arithemitik zerfällt durch diese, aber es ist trotzdem sehr interessant, finde ich zumindest. außerdem dem ist eine ähnlichkeit mit der logorithmierten lösung von linearen homogenen differentialgleichungen zu erkennen. ich werde noch die kompatibilität der einheiten hinzufügen. latex hat mich ziemlich ausgepowert also entschuldigt bitte fehler. lg J.B. alias pino
01.02.2013, 20:00	Pino86	Auf diesen Beitrag antworten »
korrektur: $\begin{eqnarray} x\oplus_{c}y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\oplus_{c-1}y \end{eqnarray}$ bilden einen körper, nicht der hyperoperator selbst.
02.02.2013, 02:12	Sly	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst mal, was hat das hier im Off-topic zu suchen? Du gibt es ein kleines Problem in deinen Überlegungen. Der Logarithmus existiert nicht auf den gesamten komplexen Zahlen, beziehungsweise erfüllt sie die gewohnten Logarithmengesetze nicht mehr, wenn man eine formale Umkehrung der Exponentialfunktion hinschreibt. Also kannst du $\begin{eqnarray} \oplus \end{eqnarray}$ höchstens als Verknüpfung auf $\begin{eqnarray} T:=\mathbb{R}\cup\{-\infty\} \end{eqnarray}$ auffassen, dann wird es aber lediglich zu einem abelschen Monoid, da die Inversenbildung schief läuft. Das heißt aber übrigens nicht, dass man mit so einer Verknüpfung nicht interessante Sachen machen kann. Analog kann man $\begin{eqnarray} \oplus_q \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} q>0 \end{eqnarray}$ definieren, wo man statt dem gewöhnlichen Logarithmus $\begin{eqnarray} \log_q \end{eqnarray}$ benutzt. Lässt man $\begin{eqnarray} q\to\infty \end{eqnarray}$ laufen (formal korrekt kann man sich daraus ein induktives System definieren, und man bildet den induktiven Limes), so erhält man die Verknüpfung $\begin{eqnarray} a\oplus b = \max(a,b) \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ . Dieses Objekt $\begin{eqnarray} (T,\oplus,+) \end{eqnarray}$ ist damit eine Art Semikörper und wird der "tropische Zahlkörper" genannt. In jüngster Zeit hat sich das Rumrechnen mit diesem Ding sogar als extrem nützliches neues Forschungsfeld erwiesen, bekannt unter "tropischer Mathematik". Anwendungen finden sich unter anderem in Gebieten wie algebraischer Geometrie.
02.02.2013, 09:15	Pino86	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, Ersteinmals danke für die sachliche auskunft. Das der complexe logorithmus sich nicht gleich verhält wie in den Realen zahlen wusste ich in der tat nicht. Danke für den hinweis Ich werde das alles nochmals neu überdenken. (vielleicht ein ausschluss der negativen reallen achse im zielgebiet des ln, und die zusätzliche forderung das das system zusätzlich modulo 2pi gerechnet werden muss um die gültigkeit der rechenregeln des ln zu wahren sinnvoll. in wieweit das dann noch mit den ln(0)=-inf bei positiven c in kombination sinn macht ist eine andere sache...) das mit den tropischen zahlkörper klingt schon mal sehr interessant, man findet halt leider im netz nicht allzuviel dazu anscheinend, zudem ist mein fachwissen und verständnis begrenzt. (Ich habe den offtopic gewählt, weil irgendwie auch keine andere katigorie richtig gepasst hat. Zumal eine vermutung meiner auffassung nicht in den bereich hochschulmathematik gehört.) lg, Pino
04.02.2013, 22:47	Pino86	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo ich habe neuigkeiten, ich vermute das die logarithmengesetze sich eventuell nur bei 2 fällen ihre gülitigkeit verlieren, zumindest bei den operationen die hier verwendet werden: im fall: $\begin{eqnarray} ln(e^a)\neq a \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} a=0\ mod\ 2 \cdot \pi \cdot i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} ln(a \cdot b) \neq ln(a)+ln(b) \end{eqnarray}$ wenn $\begin{eqnarray} a \cdot b=1 \end{eqnarray}$ in beiden fällen mit $\begin{eqnarray} a \vee b \in \mathbb{C} \verb\|\\| \mathbb{R}^+ \end{eqnarray}$ der 2te fall lässt sich auf den ersten zurückführen wenn die vermutung gültig ist. ich hoffe ich habe da nicht gerade blödsinn verzapft lg, Pino
05.02.2013, 20:45	Pino86	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werde das einmal wo anders hin auslagern, ich werde das hier als diskussions thread lassen und velinken wenn dies hier geduldet wird.
Anzeige

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »