Unterschied zwischen monton und streng monoton?

01.02.2013, 19:19

Maisinator

Unterschied zwischen monton und streng monoton?

Moin!

Kann mir einer erklären, was der Unterschied zwischen streng monoton fallend/steigend und monoton fallend/steigend und analog dazu streng konkav/konvex und konkav/konvex ist?

Sieht man da irgendeinen Unterschied in den Graphen oder hängt das alleine mit der Definition bzgl. $\begin{eqnarray*} \geq / \leq \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} >/< \end{eqnarray*}$ zusammen?

01.02.2013, 19:28

kgV

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Ein monoton steigender/fallender Graph kann auch mal waagrecht(parallel zur x-Achse) verlaufen. Ein Streng monoton steigend/fallender Graph kann das nicht, d.h. er ist in jedem Punkt ober/unter dem vorherigen.
Hoffe, das klärt die Frage
Lg
kgV
Wink

01.02.2013, 19:36

Maisinator

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Ah ok, hab's glaub ich verstanden. D.h., wenn ich eine Funktion habe, deren 1. Ableitung Null ist, also z.B.
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x \end{eqnarray*}$ ,
dann kann ich zu Punkt x=0 sagen, dass der Graph hier sowohl monoton wachsend und fallend, aber nicht streng monoton wachsend und fallend ist oder?

Bei Konvex und Konkav verhält sich das dann analog oder?

01.02.2013, 19:39

kgV

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Jawoll

01.02.2013, 19:46

Gastmathematiker

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Zitat:

Original von Maisinator
Ah ok, hab's glaub ich verstanden. D.h., wenn ich eine Funktion habe, deren 1. Ableitung Null ist, also z.B.
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x \end{eqnarray*}$ ,
dann kann ich zu Punkt x=0 sagen, dass der Graph hier sowohl monoton wachsend und fallend, aber nicht streng monoton wachsend und fallend ist oder?

Bei Konvex und Konkav verhält sich das dann analog oder?

Edit: Die Funktion ist nicht wachsend oder fallend.

01.02.2013, 19:52

Maisinator

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Zitat:

Original von Gastmathematiker

Zitat:

Edit: Die Funktion ist nicht wachsend oder fallend.

Ja, aber rein von der Definition her... Den monoton fallend/steigend ist doch als $\begin{eqnarray*} f'(x)\leq \geq 0 \end{eqnarray*}$ definiert (zumindest wurde mir das so beigebracht)

01.02.2013, 19:57

kgV

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Eine konstaqnte Funktion oder eine Funktion mit Steigung Null ist tatsächlich sowohl monoton steigend als auch monoton fallend (siehe auch Wikipedia unter Beispiele der 3. Punkt)

01.02.2013, 20:08

Gastmathematiker

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OK, wenn man die Funktion auf die einelementige Menge einschränkt, dann ist sie monoton wachsend und fallend. In diesem Fall ist sie aber auch streng monoton wachsend und streng monoton fallend.

01.02.2013, 20:10

tmp31415926

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f'(0)=0 allerdings gilt $\begin{eqnarray*} x<y\Rightarrow x³<y³ \end{eqnarray*}$ , das wohl bekannteste Beispiel zu dem Thema. f(x)=x³ ist also streng monoton steigend und hat eine waagerechte Tangente an der Stelle 0.

Die Aussage "monoton an einem Punkt" ergibt für mich keinerlei Sinn.

01.02.2013, 20:11

kgV

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Ja, die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ selbst ist in jedem Fall zuerst streng monoton fallend und dann streng monoton steigend, auf den Punkt x=0 bezogen gilt aber sowohl streng monoton fallend als auch streng monoton steigend

01.02.2013, 20:14

kgV

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@ tmp31415926:

Zitat:

Die Aussage "monoton an einem Punkt" ergibt für mich keinerlei Sinn.

Monoton in einem Punkt ergibt nur in zusammenhang mit einer Funktion einen Sinn, denn nur auf andere Punkte bezogen gibt es Monotonie überhaupt. Ein Punkt für sich ist ja erst mal gar nix, da gebe ich dir recht, aber in Zusammenhang mit dem hier diskutierten Thema würde ich die Wortwahl so nicht kritisieren... smile

01.02.2013, 20:21

Gastmathematiker

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1. (Strenge) Monotonie in einem Punkt macht keinen Sinn! Monotonie ist eine Eigenschaft auf Mengen und nicht in Punkten.

2. Man kann natürlich sagen, dass man sich auf eine einpunktige Menge bezieht, zum Beispiel {0}.
Auf einer einpunktigen Menge ist allerdings jede Funktion streng monoton wachsend und streng monoton fallend.
Dein f ist erfüllt diese Eigenschaft auch auf der Menge {-1} oder {1}.

01.02.2013, 20:24

kgV

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Vieleicht sollte ich sagen "Monotonie bezogen auf einen Punkt respektive anderen Punkten einer durch eine Funktion festgelegten Menge"
Wäre dagegegn was einzuwenden?

01.02.2013, 20:25

tmp31415926

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Die Aussage ist dann, dass f(x)=x² in $\begin{eqnarray*} (-\infty, 0] \end{eqnarray*}$ streng monoton fällt und in $\begin{eqnarray*} [0, \infty) \end{eqnarray*}$ streng monoton steigt.

Zitat:

Original von Maisinator
dann kann ich zu Punkt x=0 sagen, dass der Graph hier sowohl monoton wachsend und fallend, aber nicht streng monoton wachsend und fallend ist oder?

Diese Wortwahl empfinde ich nicht als korrekt. Es wird Steigung und Monotonie nicht unterschieden, wobei Funktionen monoton steigend/fallend sein können, bei denen "Ableitung" nicht einmal normal definiert ist.

01.02.2013, 20:42

kgV

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Wie gesagt, hierbei stimme ich dir teils zu. Ich würde es im gewählten Wortlaut als falsch, im Kontext aber als akzeptabel (um der Verständlichkeit Willen) empfinden, von Monotonie im Bezug auf Punkte zu sprechen (siehe mein voriger Beitrag)

02.02.2013, 08:41

Maisinator

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Danke Leute, jetzt hab ich's verstanden smile

02.02.2013, 08:56

Leopold

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Zitat:

Original von kgV
Wie gesagt, hierbei stimme ich dir teils zu. Ich würde es im gewählten Wortlaut als falsch, im Kontext aber als akzeptabel (um der Verständlichkeit Willen) empfinden, von Monotonie im Bezug auf Punkte zu sprechen (siehe mein voriger Beitrag)

Du hast den Fragesteller mit deinen Antworten in die Irre geführt. Monotonie ist ein Begriff für Intervalle positiver Länge. Da ist auch nichts "um der Verständlichkeit willen akzeptabel". Das berühmteste Beispiel ist wohl $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion ist auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend. Nicht im Gegensatz dazu steht $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ .
Aber eigentlich hat ja Gastmathematiker schon alles dazu gesagt. Es ist nur scheinbar immer noch nicht angekommen.

02.02.2013, 09:09

HAL 9000

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Ich finde auch die von tmp31415926 gezeigte Beharrlichkeit gut. Meiner Erfahrung nach liegen nämlich ominöse Begrifflichkeiten wie "(strenge) Monotonie an einer Stelle" begründet in folgender Vorstellung, die sich in vielen Köpfen leider festgesetzt hat:

Zitat:

Eine differenzierbare Funktion ist genau dann streng monoton wachsend, wenn überall $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ gilt. Ist hingegen "nur" $\begin{eqnarray*} f'(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt, so ist die Funktion auch nur monoton wachsend, nicht aber streng monoton wachsend.

Man muss klar und deutlich sagen, dass diese Aussage falsch ist - das prominente Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} f(x)=x^3 \end{eqnarray*}$ hat tmp31415926 oben schon genannt.

Für praktisch alle Anwendunsfälle in der Schulmathematik reicht folgendes Kriterium:

Zitat:

Hinreichend für das streng monotone Wachstum einer stetigen Funktion ist, dass mit Ausnahme endlich vieler Stellen sonst überall $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ gilt.

An den Ausnahmestellen kann die Funktion differenzierbar sein, muss sie aber nicht. Es sei aber nochmals betont, dass auch dies nur ein hinreichendes Kriterium ist.

02.02.2013, 09:23

Leopold

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Oder folgendes hinreichendes Kriterium: Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ stetig und gilt $\begin{eqnarray*} f'(x)>0 \end{eqnarray*}$ im Innern von $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend.

Angewandt auf $\begin{eqnarray*} I_1 = (-\infty,0] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} I_2 = [0,\infty) \end{eqnarray*}$ erhält man für $\begin{eqnarray*} f(x) = x^3 \end{eqnarray*}$ die strenge Monotonie auf $\begin{eqnarray*} I_1 \cup I_2 = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

02.02.2013, 18:06

kgV

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Um die ganze Sache abzuschließen, möchte ich noch folgendes anmerken:
-Ich sehe ein, dass ich mathematischen Unsinn verzapft habe. Monotonie in einem Punkt ist unmöglich, das ist mir schon klar
-Worum es mir die ganze Zeit ging, war der Umstand, dass eine Funktion auch dann monoton ist, wenn sie einmal waagrechte Stellen hat (d.h. f'(x)=0) Das ist vieleicht falsch rübergekommen. Für die dadurch entstandene unordnung entschuldige ich mich an dieser Stelle. Hammer

-Meine Aussage bezüglich Monotonie bezogen auf einen Punkt war ungünstig formuliert. Ich habe mich dabei zwar auf andere Punkte bezogen, dennoch habe ich den Kontext wohl zu weit außer Acht gelassen. Noch einmal: Hammer

Aber die Hauptsache ist wohl immer noch diese hier:

Zitat:

Original von Maisinator
Danke Leute, jetzt hab ich's verstanden smile

Und damit möchte ich es bewenden lassen
Lg

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