Projektion von Vektor auf Ebene

02.02.2013, 13:19

gronicle

Projektion von Vektor auf Ebene

Meine Frage:
Hallo, habe ein Problem bei folgende Aufgabe:

Sei: $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein vektor und eine Ebene aufgespannt durch: $\begin{eqnarray*} y=\begin{pmatrix} -1\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z=\begin{pmatrix} 1\\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Gesucht ist die Projektion von x auf die Ebene.

Meine Ideen:
Mein Ansatz:

Das Vektorprodukt aus y und z liefert mir den Normalenvektor der Ebene.
Also müsste mein Projektionsvektor c aus $\begin{eqnarray*} \vec{x}-\alpha (\vec{y}*\vec{z}) \end{eqnarray*}$ hervorgehen. $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ habe ich über die Beziehung $\begin{eqnarray*} \vec{x}=\alpha (\vec{n})+\beta(\vec{y})+\gamma(\vec{z}) \end{eqnarray*}$ berechnet. Weiter sollte in der Aufgabe eine lineare Abbildung bestimmt werden welche alle Vektoren des R3 auf die Ebene abbildet. Leider decken sich meine Ergenisse nicht wenn ich x mit meiner linearen Abbildung multipliziere. Wo könnte mein Fehler liegen?

02.02.2013, 13:59

RavenOnJ

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was sind denn deine Ergebnisse? Wie kann denn irgendjemand beurteilen, wo dein Fehler liegt, wenn du deine Ergebnisse gar nicht präsentierst?

02.02.2013, 14:20

gronicle

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Ok, sehr richtig smile

sorry. Dachte nur vielleicht mach ich irgendeinen Grundlegenden Fehler:

Die lineare Abbildung lautet: $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 17/26 & 3/26 & -12/26 \\ -23/26 & 25/26 & 4/26 \\ -12/26 & 4/26 & 10/26 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis des Projektionsvektors berechnet mit der linearen Abbildung ist: $\begin{eqnarray*} \vec{c} =\begin{pmatrix} 1/2 \\ -1/2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das andere Ergebnis von c -berechnet wie angedeutet- lautet: $\begin{eqnarray*} \vec{c} =\begin{pmatrix} 1/2 \\ 3/2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zur linearen Abbildung: Hier habe ich einfach die Bilder der kartesischen Einheitsvektoren als Spalten verwendet. Die Bilder sollen jeweils die zum Normalvektor orthogonale Komponente der Einheitsvektoren darstellen.

03.02.2013, 09:09

gronicle

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Fehlen noch Informationen? Soll ich den Rechenweg aufschreiben? Es wäre mir wirklich wichtig das zu verstehen, ich bräuchte ja nur n Tipp oder so...

Es wäre wirklich nett wenn sich jemand die Mühe macht....

03.02.2013, 13:17

chrizke

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Also ich habs mal kurz durchgerechnet. Deine Projektionsmatrix ist richtig.

Der Vektor x wird auf

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0.5\\1.5\\0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

projiziert.

EDIT: Oh halt, ich hab mich doch verguckt. Du hast einen falschen Eintrag in der Matrix. $\begin{eqnarray*} A_{2,1} \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} \frac{3}{26} \end{eqnarray*}$ sein.

03.02.2013, 14:50

gronicle

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Ahso ok danke... aber du meintest sicher $\begin{eqnarray*} A_{2,2} \end{eqnarray*}$ oder?

Jedoch frage ich mich dann wie man das ausrechnet:

ich ging so vor: (zweiter Spaltenvektor der Matrix)

$\begin{eqnarray*} \vec{e}_{2||}=\frac{<\vec{e},\vec{n}>}{||\vec{n}||^{2}}=\begin{pmatrix} -3/26 \\ 1/26 \\ -4/26 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und somit:

$\begin{eqnarray*} \vec{e}_{2}-vec{e}_{||2}=\vec{e}_{perp2} =\begin{pmatrix} 3/26 \\ 25/26 \\ 4/26 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.02.2013, 15:17

chrizke

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Zitat:

Original von gronicle
Ahso ok danke... aber du meintest sicher $\begin{eqnarray*} A_{2,2} \end{eqnarray*}$ oder?

Nein ich meine schon den mittleren Eintrag in der linken Spalte.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \vec{e}_{2||}=\frac{<\vec{e},\vec{n}>}{||\vec{n}||^{2}}=\begin{pmatrix} -3/26 \\ 1/26 \\ -4/26 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da fehlt noch was, oder? $\begin{eqnarray*} \frac{<\vec{e},\vec{n}>}{||\vec{n}||^{2}} \end{eqnarray*}$ ist eine reelle Zahl und kein Vektor.

03.02.2013, 16:09

gronicle

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Ja klar da fehlte $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ......

$\begin{eqnarray*} \vec{e}_{1||}=\frac{<\vec{e},\vec{n}>}{||\vec{n}||}*\vec{n}=\begin{pmatrix} 17/26 \\ 3/26 \\ 4/26 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ok hab den Fehler entdeckt! Danke!

Wie findest du meine Methode den Projektionsvektor ohne die Abbildung zu bestimmen?
Also in Sachen Umständlichkeit, da ich mir das halt so aus den Fingern gesogen hab vermute ich, dass das ziemlich umständlich war... !

Danke nochmal!

03.02.2013, 16:23

chrizke

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Ich habe es auch so gemacht. Also erst die Matrix aufgestellt mit Hilfe der Einheitsvektoren und dann x projiziert.

03.02.2013, 18:01

gronicle

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Ja ok ... . Ich habe aber erst (siehe mein erster Beitrag) den vektor mit einer anderen Methode projeziert. Das war der a) Teil der Aufgabe. Da war von linearer Abbildung noch keine Rede. Die lineare Abbildung sollte nur zur Probe aufgestellt werden. Und genau das war der Kanckpunkt an der Sache, dass die Probe über die lineare Abbildung ein anderes Resultat als meine erste Berechnung aus dem Aufgabenteil a) geliefert hat. Daher habe ich vermutet das meine erste Berechnung falsch war...

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