Verhältnis Exponenten (Textaufgabe)

02.02.2013, 17:25	Rudi784	Auf diesen Beitrag antworten »
Verhältnis Exponenten (Textaufgabe) Meine Frage: Hallo nochmal einen hab ich für Heute noch...hoffentlich etwas anspruchvolleres: Aufgabe: Wenn ein Unternehmen x Einheiten eines Inputs in einem Herstellungsprozess A verwendet, werden $\begin{eqnarray} 32x^{\frac{3}{2} } \end{eqnarray}$ Einheiten produziert. In einem alternativen Herstellungsprozess B werden $\begin{eqnarray} 4x^{3} \end{eqnarray}$ Einheiten produziert. Für welche Niveaus des Inputs produziert Prozes A mehr als Prozess B. Lösung: x<4 Wenn x>0, dann ist $\begin{eqnarray} 32x^{\frac{3}{2} } >4x^{3} \end{eqnarray}$ , vorrausgesetzt $\begin{eqnarray} 8x^{\frac{3}{2}}>x^{3} \end{eqnarray}$ und dies is äquivalent zu $\begin{eqnarray} 8>x^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} x>8^{\frac{3}{2} }=4 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich bin auf das selbe Ergebnis gekommen, jedoch mit einem sehr umständlichen Lösungsweg. Um mir das Leben nicht unnötig schwer zu machen, würde ich den einfacheren, oben geschilderten Weg nachvollziehen können und hoffe auf Eure Unterstützung. Mir ist bewusst, dass $\begin{eqnarray} 32x^{\frac{3}{2} } >4x^{3} \end{eqnarray}$ und das dies $\begin{eqnarray} 8x^{\frac{3}{2}}>x^{3} \end{eqnarray}$ entspricht. Aber warum soll das äquivalent zu $\begin{eqnarray} 8>x^{\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ sein und wie zur Hölle kommt man von dort auf $\begin{eqnarray} x>8^{\frac{3}{2} }=4 \end{eqnarray}$ Vielen leiben Dank vorab!
02.02.2013, 17:49	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du hast $\begin{eqnarray} 8x^{\frac{3}{2}}>x^{3} \end{eqnarray}$ . Um jetzt die 8 alleine zu bekommen, muss man beide Seiten mit $\begin{eqnarray} x^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray}$ multiplizieren. Danach die dritte Wurzel ziehen. Und danach quadrieren. In Potenzen gedacht heißt dies, dass man den Exponenten durch drei teilt und danach mit 2 multipliziert. Grüße.
02.02.2013, 17:49	conlegens	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verhältnis Exponenten (Textaufgabe) Indem man durch x^(3/2) dividiert und dann mit 2/3 potenziert. Allerdings muss es am Schluss 8^(2/3) lauten.
02.02.2013, 17:52	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verhältnis Exponenten (Textaufgabe) 1. Unter der Voraussetzung dass $\begin{eqnarray} x> 0 \end{eqnarray}$ kann man die gegebene Ungleichung durch $\begin{eqnarray} x^{\frac32} \end{eqnarray}$ teilen: $\begin{eqnarray} 8x^{\frac{3}{2}}>x^{3}~\implies~8>x^{3 - \frac32} \end{eqnarray}$ Durch Zusammenfassen im Exponenten kommt man dann auf das Ergebnis. 2. Durch Quadrieren kann man den gebrochenen Exponenten in einen ganzzahligen Exponenten verwandeln: $\begin{eqnarray} 8>x^{\frac32}~\implies~8^2>x^3 \end{eqnarray}$ Nun ist aber $\begin{eqnarray} 8 = 2^3 \end{eqnarray}$ wodurch sich die letzte Ungleichung folgendermaßen umschreiben lässt: $\begin{eqnarray} 8^2>x^3~\implies~(2^3)^2 > x^3~\implies~(2^2)^3 > x^3 \end{eqnarray}$ Durch Vergleich der beiden Seiten kann man den Wert von x ablesen. EDIT: schon wieder zu spät
02.02.2013, 18:06	Rudi784	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend Zusammen, und danke für die schnellen Antworten. Ich stehe heute total auf dem Schlauch und klapp das Mathebuch für Heute besser zu Lösung ist jetzt klar Ich wünsch Euch noch einen schönen Abend!
02.02.2013, 18:13	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut uns (conlegens, Bürgi und ich), dass jetzt alles klar ist. Grüße.
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