Keine Einbettung von RP2 in R3 |
| 02.02.2013, 17:43 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Keine Einbettung von RP2 in R3 bei einer Frage, die mir letztens irgendwann über den Weg gelaufen ist, weiß ich leider immer noch nicht ganz weiter: Ich weiß, dass man die reelle projektive Ebene nicht in den IR^3 einbetten kann. Das ist etwas mehr als ich beweisen will, mir geht's mehr um folgendes: Es existiert kein sodass das Urbild eines regulären Wertes von ist. Leider stehe ich doch ziemlich auf dem Schlauch, hätte jemand einen Ansatz? Ich weiß, dass ich den Beweis schon mal irgendwann gesehen habe, aber ich kann mich weder daran erinnern wo, noch wo der Trick lag... Gruß MI |
||||||||
| 09.02.2013, 09:54 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi, Tipp: Eine 2-dimensionale Untermannigfaltigkeit des R^3 ist orientierbar genau dann wenn ein (globales, nullstellenfreies) Normalenvektorfeld existiert. Schau dir den Gradienten von f an. Für die stärkere Aussage könnte man zeigen, dass eine eingebettete, kompakte und zusammenhängende Fläche ohne Rand den R^3 in genau zwei Komponenten teilt. Daraus folgt, dass eine solche Fläche der Rand einer kompakten 3-Mannigfaltigkeit im R^3 ist (beschränkte Komponente). Insbesondere ist eine solche Fläche orientierbar. Ein Beweis kann man mithilfe der 'winding number' modulo 2 führen (damit kann man zeigen, dass es mindestens 2 Komponenten im Komplement der Fläche gibt: Betrachtet man von einem gegebenen Punkt aus nämlich einen Strahl in eine geeignete Richtung, so kann man zählen wie oft man die Fläche durchsticht. Ist diese Zahl ungerade, so ist man bildlich in der beschränkten Komponente, ist sie gerade, so ist man intuitiv in der unbeschränkten Komponente). Von Hand zeigt man dann, dass es maximal zwei gibt (man findet schöne Wege entlang der Fläche). 
|
||||||||
| 09.02.2013, 10:32 | MI | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo gonnabphd, danke für den Tipp. Die genau-dann-Aussage ist interessant, die macht natürlich alles viel klarer. Da habe ich nicht dran gedacht. Das folgt, wenn ich das richtig sehe, sofort aus der zweiten, stärkeren, Aussage, weil sich ein solches Normalenvektorfeld ja lokal aus der 3-Mannigfaltigkeit ergibt (dann zusammenpatchen), deren Rand die Fläche ist. Die Orientierbarkeit solcher Flächen ist dann natürlich auch klar, weil jede offene Untermannigfaltigkeit vom R^3 die Orientierbarkeit des R^3 erbt und diese dann auf dem Rand eine Orientierung induziert. Da RP^2 nicht orientierbar ist (Top-Cohomologie=0, oder eben auf der Sphäre, also dem double-cover, ist die antipodale Abbildung für gerade Dimensionen nicht orientierungserhaltend), sind wir natürlich auch fertig. Deine stärkere Aussage hätte ich anschaulich natürlich vermutet (im Grunde ist das ja eine Art 3-dim. erweiterte Version des Jordanschen Kurvensatzes - daran denkend scheint es nicht unnatürlich, irgendetwas mit der Winding-number zu versuchen. Das ganze schaue ich mir noch mal genauer an), aber "vermutet" ist eben nicht "bewiesen" 
.Inwiefern lässt sich so etwas für höhere Dimensionen sagen? Ich würde eigentlich vermuten, dass das für alle n-1-dimensionalen Mannigfaltigkeiten im R^n gilt. Für eingebettete Mfkt. wesentlich niedrigerer Dimension kann das natürlich nicht gelten. Wenn ich deine Beweisskizze sehe, hätte ich jetzt auch vermutet, dass die sofort auf den R^n übertragbar ist. Vielen Dank! MI |
||||||||
| 09.02.2013, 14:13 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hi MI,
Du hast natürlich recht. Allerdings wollte ich hier eher auf etwas anderes hinaus: Wenn du irgendeine Fläche S im R^3 hast - ganz egal, ob sie eine 3-Mannigfaltigkeit berandet oder nicht - dann gilt immer: S ist orientierbar gdw. es existiert ein globales, normiertes Normalenvektorfeld.
Absolut richtig. Das gilt auch allgemein für Hyperflächen im R^n. Man könnte sich auch überlegen, was die korrekte Verallgemeinerung für k-Untermannigfaltigkeiten in R^n wäre. z.B. sollte ein globales Framing des Nomalenbündels ausreichen (eine Charakterisierung ist das jedoch glaube ich nicht... ein Gegenbeispiel fällt mir aber gerade auch nicht ein :-/ Vielleicht findest du ja eines? )
Ja, man sieht auch sehr schön, dass die Glattheit der Einbettung einem das Leben doch sehr viel einfacher macht (und völlig andere Argumente erlaubt). |
||||||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
|
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|