Grenzwert Nr.22

02.02.2013, 22:29

Philipp68

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Grenzwert Nr.22

Meine Frage:
Richtig oder falsch? smile

smile

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x + 3x)} -x ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty} (\sqrt{2x + 3x)} -x )= \frac{(\sqrt{2x + 3x)} -x )* (\sqrt{2x + 3x)} +x )}{(\sqrt{2x + 3x)} +x )}= \frac{(2x+3x)-x²}{\sqrt{(2x+3x)}+x }= \frac{5x - x²}{\sqrt{5x} +x } = \infty \end{eqnarray*}$

02.02.2013, 22:32

mYthos

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5x - x² ist NICHT 4x (!)

02.02.2013, 22:35

Philipp68

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Stimmt, dass kann man gar nicht kürzen, nur bei einem Produkt -.-

02.02.2013, 22:35

mYthos

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Der Nenner mit der Wurzel ist auch falsch berechnet, x geht nicht so unter die Wurzel.

02.02.2013, 22:37

Philipp68

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Sorry, habe es geändert. Und das Ergebnis?

02.02.2013, 22:43

mYthos

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RE: Grenzwert Nr.22

Zitat:

...

$\begin{eqnarray*} \frac{5x - x²}{\sqrt{5x} +x } = \infty \end{eqnarray*}$

Jetzt ist die linke Seite richtig. In diesem Zustand liegt jedoch noch immer die unbestimmte Form $\begin{eqnarray*} -\frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ vor.
Wie zeigst du nun, dass der Grenzwert tatsächlich $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ist?

mY+

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02.02.2013, 22:46

Philipp68

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RE: Grenzwert Nr.22
Ist er jetzt + oder - Unendlich?

Nun, der Zähler wird immer positiv sein, obwohl ein - steht -> wegen dem ² ( für das Ergebnis + Unendlich )

02.02.2013, 22:58

mYthos

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Der Bruch ist noch durch weiteres Kürzen von einer unbestimmten auf eine bestimmte Form zu bringen! Denn durch Unendlich kann man nicht "kürzen".
Tipp: Dividiere Zähler und Nenner durch x

mY+

02.02.2013, 23:02

Philipp68

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$\begin{eqnarray*} \frac{5-x}{\sqrt{5} +1} = -\infty \end{eqnarray*}$

Also wäre es ohne zu kürzen total falsch...

02.02.2013, 23:07

mYthos

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Du hast beim Kürzen unter der Wurzel einen Fehler gemacht, denn dort muss man natürlich innerhalb durch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ dividieren

$\begin{eqnarray*} \frac{5-x}{\sqrt{\frac 5 x} +1} = -\infty \end{eqnarray*}$

Was steht also nach dem Grenzübergang im Nenner des Bruches?
(Auf das Ergebnis hat dein Fehler allerdings keinen Einfluss)

mY+

02.02.2013, 23:08

Philipp68

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Im Nenner steht 1.

02.02.2013, 23:15

mYthos

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So ist es.
Nun kann der Grezwert definitiv angegeben werden, weil er dem Bruch jetzt eindeutig zugeordnet werden kann.

mY+

02.02.2013, 23:24

Che Netzer

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RE: Grenzwert Nr.22
@Philipp68: Bist du dir eigentlich sicher, dass die Aufgabe so stimmt?
Steht unter der Wurzel nicht eher etwas wie $\begin{eqnarray*} 2x^{\color{red}2}+3x \end{eqnarray*}$ o.ä.?

02.02.2013, 23:52

Philipp68

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Zitat:

Original von mYthos
So ist es.
Nun kann der Grezwert definitiv angegeben werden, weil er dem Bruch jetzt eindeutig zugeordnet werden kann.

mY+

Danke!

smile

02.02.2013, 23:53

Philipp68

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RE: Grenzwert Nr.22

Zitat:

Original von Che Netzer
@Philipp68: Bist du dir eigentlich sicher, dass die Aufgabe so stimmt?
Steht unter der Wurzel nicht eher etwas wie $\begin{eqnarray*} 2x^{\color{red}2}+3x \end{eqnarray*}$ o.ä.?

Meinst du, dass ich beim Abschreiben der Aufgabe einen Fehler gemacht habe oder dass ich während dem Rechnen einen Fehler gemacht habe?

02.02.2013, 23:56

mYthos

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Es könnte ein Abschreibfehler sein. Denn wer schreibt 2x + 3x, wenn 5x ebenso gut ist?

mY+

02.02.2013, 23:59

Philipp68

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Schei** es ist echt 2x² + 3x. Woher wusstest du das? ^^

03.02.2013, 00:15

mYthos

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Die Idee hatte ursprünglich Che. Aber mir kam 2x + 3x auch schon von Anfang an komisch vor, mir ging es aber eher um die richtige Umrechnung und deine anderen Fehler.

Also mache es mit der veränderten Angabe nochmals. Jetzt weisst du ja, wie es gehen soll. Und vergiß nicht, vor jedem umgeformten Bruch noch das Limes-Zeichen dazuzuschreiben!

mY+

03.02.2013, 00:29

Philipp68

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ich hoffe ich liege nicht falsch, aber dann müsste das Ergebnis auch ein anderes sein. ich habe nun + Unendlich raus.

Meine Endgleichung ist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } \frac{x²}{x\sqrt{2} } = \frac{x}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

03.02.2013, 00:49

mYthos

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Es kommt zwar $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ , aber der (bereits gekürzte) Endterm sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{x + 3}{\sqrt {2 + \frac 3 x} + 1} \end{eqnarray*}$

mY+

03.02.2013, 00:57

Philipp68

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Ok

Big Laugh

Das Ergebnis ist gleich, nur der Term sieht anders aus. Ich setzte mich Morgen nochmal hin und rechne es durch!

Danke und gute Nacht! smile

smile

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