Differentailgleichung (Störglied)

03.02.2013, 02:59

Pascal90

Differentailgleichung (Störglied)

Ich sitze gerade an Folgender Aufgabe fest

$\begin{eqnarray*} x' + 3x = t^2 - t \end{eqnarray*}$

Ich habe in einem Buch ein ähnliches Beispiel gefunden. Siehe Anhang unten im Post
und wollte nach dem gleichen Schema vorgehen

1. Homogenen Teil

$\begin{eqnarray*} x' + 3x = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = C*e^{ -\int \! 3 \, dt} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = C*e^{-3t} \end{eqnarray*}$

2. Inhomogenen Teil
$\begin{eqnarray*} x' + 3x = t^2 - t \end{eqnarray*}$

Hatte ich Buch für Quadratische gleichungen $\begin{eqnarray*} y_{p}= c_{2}x^2 +c_{1}x + c_{0} \end{eqnarray*}$ gesehen

Ansatz xp: $\begin{eqnarray*} a_{p}= ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$ Störglied ( $\begin{eqnarray*} t^2 - t + 0 \end{eqnarray*}$ )

jetzt kommt eigentlich die Bestimmtung der konstanten a b und c aber ich weiß nicht wie ich das machen soll

Oder ist mein Ansatz eventuell komplett falsch?

Hier das Beispiel das ich als Leitfaden genommen habe:
Sieht gerad irgendwie sehr verpixelt aus aber wenn man draufklickt kann mas gut lesen Augenzwinkern

[attach]28238[/attach]

03.02.2013, 09:59

Kasen75

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Hallo,

ich würde statt $\begin{eqnarray*} y_{p}= c_{2}x^2 +c_{1}x + c_{0} \end{eqnarray*}$ diese Gleichung verwenden: $\begin{eqnarray*} x_{p}= c_{2}t^2 +c_{1}t + c_{0} \end{eqnarray*}$
Du musst schon schauen um welche Variablen es überhaupt geht. Die Richtung stimmt aber.
Von $\begin{eqnarray*} x_p \end{eqnarray*}$ kannst du jetzt die Ableitung bilden.

Dann beide Ausdrücke in die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} x' + 3x = t^2 - t \end{eqnarray*}$ einsetzen und die Koeffizienten vergleichen.

Grüße.

03.02.2013, 12:51

Pascal90

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Thx schon mal für den Hinweis das ich die andere Gleichung verwenden muss.

Irgendwie ist mir noch nicht ganz klar wie ich jetzt den Koeffizenten abgleich machen muss

habe jetzt

$\begin{eqnarray*} xp=at^2+bt +c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x'p=2at+b \end{eqnarray*}$

Danach

$\begin{eqnarray*} 2at+b +3(at^2 + bt + c) = t^2-t + 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2at+b +3at^2 + 3bt + c = t^2-t + 0 \end{eqnarray*}$

Also mir ist klar das c = 0 wird aber wie mach ich den restlichen Abgleich

Irgendwie weiß ich nicht welche anderen Gleichungen ich daraus aufstellen kann

03.02.2013, 13:05

Kasen75

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Man hat dann diese Gleichung: $\begin{eqnarray*} 2at+b +3at^2 + 3bt + \textcolor{blue}{3}c = t^2-t + 0 \end{eqnarray*}$

Ich habe noch die blaue 3 hinzugefügt. Jetzt solltest du auf der linken Seite die Terme mit $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ zusammenfassen. Das Gleiche mit den Termen mit t. Und den Termen ohne t.

Möglicherweise bekommst du den Koeffizientenvergleich dann schon hin.

Zitat:

Also mir ist klar das c = 0 wird

c (eigentlich 3c) ist nur ein Summand der keinen Faktor t enthält. Was ist mit b?

03.02.2013, 14:10

Pascal90

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Mir ist noch nicht klar wie der Koeffizientenvergleich funktioniert

Ich habe jetzt erst mal die Terme zusammen gefasst

$\begin{eqnarray*} 3at^2 - t^2 + 2at + t + b + 3c = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} t^2(3a-1) + t(2a +1) + b + 3c = 0 \end{eqnarray*}$

oder meinst du das zusammen fassen nur so

$\begin{eqnarray*} t^2(3a) + t(2a) + b + 3c = t^2(1) + t(- 1) \end{eqnarray*}$

So in etwa war es ja auch in dem Beispiel da hätte ich aber

$\begin{eqnarray*} 3a=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2a=-1 \end{eqnarray*}$

03.02.2013, 16:30

Kasen75

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Ich habe das ein bisschen anders gemeint mit dem Zusammen fassen. Es sollten nur die Terme auf der linken Seite zusammengefasst werden:

$\begin{eqnarray*} 2at+b +3at^2 + 3bt + 3c = t^2-t + 0 \end{eqnarray*}$

Auf der linken Seite ist der $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ -Term: $\begin{eqnarray*} 3at^2 \end{eqnarray*}$

Die t-Terme 3bt und 2at: $\begin{eqnarray*} t(3b+2a) \end{eqnarray*}$

Die Terme ohne t-Variable: $\begin{eqnarray*} b+3c \end{eqnarray*}$

Somit steht insgesamt da:
$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{3a}t^2+t\textcolor{red}{(3b+2a)}+\textcolor{green}{b+3c}=\textcolor{blue}{1}\cdot t^2 \textcolor{red}{-1} \cdot t + \textcolor{green}{0} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die Koeffizienten auf der linken Seite und die Koeffizienten auf der rechten Seite vergleichen:

Auf der linken Seite gibt es 3a-mal $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$ und auf der rechten Seite einmal $\begin{eqnarray*} t^2 \end{eqnarray*}$

Somit wäre die erste Gleichung: $\begin{eqnarray*} 3a=1 \end{eqnarray*}$

Auf die gleiche Weise bestimmst du die anderen beiden Gleichungen.

Dieses Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und den Variablen a,b und c dann lösen.

03.02.2013, 17:41

Pascal90

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Vielen Dank für deine Hilfe,
jetzt wie ich sehe wie simpel es doch ist komme ich mir schon blöd vor Hammer

So müsste es jetzt passen:
[attach]28244[/attach]

03.02.2013, 17:55

Kasen75

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Es ist in der Tat relativ simpel, wenn man weiß wie es geht.

Gerne. Freut mich, dass es geklappt hat. smile

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