Polynom - Nullstelle im Intervall

03.02.2013, 10:39

Philipp68

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Polynom - Nullstelle im Intervall

Meine Frage:
Guten Morgen smile

smile

Ich hab hier folgende Aufgabe und hab sie glaube ich anders gerechnet, als verlangt ist und bin vielleicht auf das richtige Ergebnis gekommen Big Laugh

Big Laugh

Könnte mir das jemand freundlicher Weise bestätigen bzw. sagen, was ich falsch gemacht habe ( Da ich nicht mit den Sätzen für Stetigkeit gearbeitet habe)? smile

smile

Die Aufgabe findet hier im Anhang!

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} p(x) = x^7 + 2x + 1 \end{eqnarray*}$

Nun setze ich p(x)= 0 und verändern x^7

$\begin{eqnarray*} x^5* x² + 2x + 1 = 0 \Rightarrow x² + 2x + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Die x^5 vernachlässige ich erstmal. Und wende nun die pq-Formel an.

Mein Ergebnis lautet:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = - \frac{2}{2} \pm \sqrt{(\frac{2}{2})² - 1 } = -1 \pm 0 = -1 = x \end{eqnarray*}$

Und das liegt im Intervall. Ist das nur reiner Zufall?

Was mir noch eingefallen ist. Wenn x^5 0 ist wird x² auch 0.
Dann habe ich nur noch die Form:

$\begin{eqnarray*} 2x + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

Nach x umgestellt:

$\begin{eqnarray*} x = - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Und das liegt auch im Intervall!!! ( Wird wahrscheinlich die richtige Nullstelle sein, wenn ja, wieso?

03.02.2013, 10:55

Leopold

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Mich schaudert. Da fällt mir nur noch das Ende eines Witzes ein: Die Ingenieure wenden die Methoden der Mathematiker an, ohne sie wirklich zu verstehen.

Siehe hier (etwa auf der Mitte der Seite: "Eine Gruppe von Ingenieuren ...").

03.02.2013, 10:56

Colorado

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RE: Polynom - Nullstelle im Intervall
Wie kannst du $\begin{eqnarray*} x^5 \end{eqnarray*}$ einfach vernachlässigen? Damit bekommst du nicht wirklich die Nullstellen heraus.

$\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ liegt im übrigen nicht im Intervall!

Wenn du mal genau gelesen hast:
Wir betrachten das offene Intervall $\begin{eqnarray*} (-1,0) \end{eqnarray*}$ , d.h. alle Werte zwischen $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ . Die Intervallgrenzen sind nicht enhalten, sondern nur was dazwischen liegt.

Der bekannte Satz, den du anwenden musst ist der Zwischenwertsatz, d.h. du musst nur ein $\begin{eqnarray*} x_1<0 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} x_2>0 \end{eqnarray*}$ im Intervall finden.

03.02.2013, 10:58

Philipp68

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Zitat:

Original von Leopold
Mich schaudert. Da fällt mir nur noch das Ende eines Witzes ein: Die Ingenieure wenden die Methoden der Mathematiker an, ohne sie wirklich zu verstehen.

Siehe hier (etwa auf der Mitte der Seite: "Eine Gruppe von Ingenieuren ...").

Big Laugh

Big Laugh

Big Laugh

Geiler Witz! Der bei mir zu 100% zutrifft! ^^

03.02.2013, 11:00

Philipp68

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Aber das Ergbnis für x = - 0,5 ist dennoch richtig oder?

03.02.2013, 11:04

Leopold

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$\begin{eqnarray*} (-0{,}5)^7 + 2 \cdot (-0{,}5) + 1 = (-0{,}5)^7 - 1 + 1 = (-0{,}5)^7 \end{eqnarray*}$

Jetzt einmal im Ernst. Du verwechselst das mit einem Produkt. Ein solches wird in der Tat 0, wenn mindestens ein Faktor 0 wird. Aber eben PRODUKT!

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03.02.2013, 11:13

Philipp68

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Ich habe mir die Funktion mal zeichnen lassen und hat bei - 0,5 eine Nullstelle? Ist jetzt Zufall?

Werde es mit den Zwischenwertsatz mal machen.

03.02.2013, 11:16

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
$\begin{eqnarray*} (-0{,}5)^7 + 2 \cdot (-0{,}5) + 1 = (-0{,}5)^7 - 1 + 1 = (-0{,}5)^7 \end{eqnarray*}$

Liest du eigentlich anderer Leute Beiträge? Und denkst du über sie nach?

$\begin{eqnarray*} (-0{,}5)^7 = -0{,}0078125 \end{eqnarray*}$

03.02.2013, 11:28

Philipp68

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Ja mach ich!

Wäre dies hier die richtige Form des Mittelwertsatzes, die ich benötige?

$\begin{eqnarray*} \frac{f(b) - f(a)}{b-a} = f'(x) \end{eqnarray*}$

Ist nicht a = -1 und b = 0.

Mich irritiert ein wenig das f'(x). Heißt das, dass wenn ich für a und b die Werte einsetze und das Ergbnis = dem von f'(x) sein muss???

Ich benutze diesen Satz zum 1. Mal.

Ich habe a und b einfach mal eingesetzt und komme auf 3.

03.02.2013, 11:50

watcher

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Du liest offensichtlich nicht mal deine eigenen Beiträge.
Du schriebst du würdest den

Zitat:

Zwischenwertsatz

verwenden, was auch sinnvoll ist.
Und jetzt kommst du mit einem Teil des Mittelwertsatzes der Differintialrechnung.

Vielleicht wäre jetzt auch mal Zeit für eine Pause vom Paniklernen.

03.02.2013, 11:54

Philipp68

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Zitat:

Original von watcher
Du liest offensichtlich nicht mal deine eigenen Beiträge.
Du schriebst du würdest den

Zitat:

Zwischenwertsatz

verwenden, was auch sinnvoll ist.
Und jetzt kommst du mit einem Teil des Mittelwertsatzes der Differintialrechnung.

Vielleicht wäre jetzt auch mal Zeit für eine Pause vom Paniklernen.

*** -.- falsch gelesen. Ne kann ich nicht machen, Morgen ist es schon soweit...

Edit Equester: Kraftausdruck entfernt.

03.02.2013, 11:57

Philipp68

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Zitat:

Original von Philipp68

Zitat:

Original von watcher
Du liest offensichtlich nicht mal deine eigenen Beiträge.
Du schriebst du würdest den

Zitat:

Zwischenwertsatz

verwenden, was auch sinnvoll ist.
Und jetzt kommst du mit einem Teil des Mittelwertsatzes der Differintialrechnung.

Vielleicht wäre jetzt auch mal Zeit für eine Pause vom Paniklernen.

*** -.- falsch gelesen. Ne kann ich nicht machen, Morgen ist es schon soweit...

Edit Equester: Kraftausdruck entfernt.

Entschuldigung.

03.02.2013, 12:30

Philipp68

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Irgendwie komme ich nicht so ganz zurecht mit dem Zwischenwertsatz. Kann den mir jemand mal schnell vllt. an einem Beispiel erkläre? unglücklich

unglücklich

03.02.2013, 12:39

watcher

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Setz doch einfach mal die Grenzen deines Intervalls ein.

03.02.2013, 12:45

Philipp68

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Genau das habe ich jetzt auch gemacht.

$\begin{eqnarray*} x= - 1 \Rightarrow -1^7 + 2*(-1) + 1 = -2 \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= 0 \Rightarrow 0^7 + 2*(0) + 1 = 1 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Dann gilt f(x)=0.

Kann ich dann das schreiben und nach x auflösen?

$\begin{eqnarray*} x^7 + 2x+1 = 0 \end{eqnarray*}$

03.02.2013, 12:50

watcher

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Zitat:

Dann gilt f(x)=0.

Nicht ganz:
Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} x \in [-1,0] \end{eqnarray*}$ mit f(x)=0
sprich die gewünschte Nullstelle.

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