Lineare Unabhängigkeit

03.02.2013, 11:26

totti

Lineare Unabhängigkeit

Hallo zusammen,

ich habe mal eine Frage zur linearen Unabhängigkeit!

Die 1.Aufgabe lautet:
Bitte beschreiben Sie, was der Begriff "Lineare Unabhängigkeit"dreier Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^3 \end{eqnarray*}$ mit der Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems zu tun hat!

Antwort:
Also ich denke das es damit zusammenhängt, dass ein LGS nur dann eindeutig lösbar ist, wenn die Koeffizienten linear Unabhängig sind! Also Linear Unabhängig bedeutet doch: Das es nur eine Lösung geben kann! Sprich nachdem man die Vektoren als Gleichung niedergeschrieben hat, und nicht z.B eine oder alle Variablen wegfallen und das Ergebnis dann lautet 0=0 (was bedeuten würde, dass es unendliche viele Lösungen gibt / der Ergebnisvektor auch auf der selben Ebene liegt) oder die Gleichung einen Widerspruch hat, sprich 2=0, das heißt glaube ich, dass die Vektoren zwar in eine Ebene liegen, jedoch der Ergebnisvektor nicht?!?! Achso für diesen beiden Fälle sagt man glaube ich die sind linear abhängig?!?

jetzt habe ich mich noch informiert und habe gelesen, dass man die Lineare Unabhängigkeit auch darüber nachweisen kann, wenn die Nullsumme nur trivial sein kann. Sprich wenn die Vorfaktoren / Koeffizienten = 0 sind!

Allerdings habe ich dazu eine Frage, denn auch eine Gleichung die linear abhängig ist, kann ich doch trivial lösen, also indem ich alle Koeffizienten =0 setze!
Nur dabei kann ich noch zusätzlich die Angabe machen, wenn ich auf lineare abhängigkeit prüfen möchte das alle Koeffizienten $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ sind, oder mindestens einer muss $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ sein.
Wie kann ich dann bei der linearen unabhängigkeit vorgehen? Muss ich dann nur trivial prüfen oder muss ich auf lineare Abhänigikeit prüfen und wenn diese nur trivial möglich ist, bedeutet es im Umkehrschluss dass sie dann linear unabhängig sind???

Aufgabe2:
Überprüfen sie $\begin{eqnarray*} \vec{a} =\begin{pmatrix} 1 \\2 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \vec{b} =\begin{pmatrix} 2 \\1 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} =\begin{pmatrix} -5 \\2 \\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

auf lineare Unabhängigkeit!

Antwort:

Wie gehe ich da jetzt genau vor?
Schreibe ich erstmal 3 Gleichungen auf?

$\begin{eqnarray*} 1) a+2b-5c =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2) 2a+b+2c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3) a+b+2c=0 \end{eqnarray*}$

Oder wie? Schriebe ich das in eine Matrix und wende den Gauß-Algorithmus an?

Danke

03.02.2013, 12:29

Dopap

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RE: Lineare Unabhängigkeit

Zitat:

Original von totti

Aufgabe2:
Überprüfen sie $\begin{eqnarray*} \vec{a} =\begin{pmatrix} 1 \\2 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} \vec{b} =\begin{pmatrix} 2 \\1 \\1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{c} =\begin{pmatrix} -5 \\2 \\2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

auf lineare Unabhängigkeit!
Schreibe ich erstmal 3 Gleichungen auf?

$\begin{eqnarray*} 1) a+2b-5c =0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2) 2a+b+2c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3) a+b+2c=0 \end{eqnarray*}$

dein Ansatz: $\begin{eqnarray*} \lambda \vec a +\mu \vec b +\nu \vec c = \vec 0 \end{eqnarray*}$

d.h. die Gleichungen sind dieselben, nur andere Buchstaben.

und wenn daraus zwingend $\begin{eqnarray*} \lambda = \mu = \nu =0 \end{eqnarray*}$ folgt, dann sind die Vektoren linear unabhängig.

Ob du das mit den Gleichungen rechnest oder die Kurzform der Matrix verwendest ist egal.
Die Matrix mit Gauss ist eben schreibärmer

03.02.2013, 14:04

totti

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Also ich habe es jetzt mal mit dem Gauß gemacht!

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1& 2&-5 \\ 2 & 1 & 2 \\1 & 1 &2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann habe ich nach dem ersten Schritt folgende Matrix bekommen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1& 2&-5 \\ 0 & 3 &-12 \\0 & 1 & -7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann der letzte Schritt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1& 2&-5 \\ 0 & 3 &-12 \\0 & 0 &9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann komme ich auf $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?
Habe ich damit lineare Unabhängigkeit nachgewiesen bzw. darauf geprüft ?

12.02.2013, 10:12

totti

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Kann mir einer dazu bitte noch Info geben, die Aufgabe ist bei mir immernoch offen?!

Danke.....

12.02.2013, 10:24

klarsoweit

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Zitat:

Original von totti
Ist das richtig?
Habe ich damit lineare Unabhängigkeit nachgewiesen bzw. darauf geprüft ?

Im Prinzip ja, nur solltest du andere Variablen-Bezeichungen verwenden, da a, b und c zu nahe an den Bezeichnungen für die Vektoren dran sind.

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