Integration durch Substitution

03.02.2013, 12:08	arkhamcity	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration durch Substitution Meine Frage: Ich soll folgende Funktion durch den vorgegebenen Hinweis substituieren: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{1}{4sin^2(x)+3cos^2(x)} <br /> <br /> Hinweis: z=\frac{2}{\sqrt{3} } tan(x)<br /> \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich habe wirklich keine Ahnung wie ich es ersetzen soll? Habt ihr mir vielleicht einen Tipp womit ich anfangen soll?
03.02.2013, 12:37	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution Forme deine Formel so um, dass darin nur noch $\begin{eqnarray} \sin^2(x) \end{eqnarray}$ vorkommt. Da $\begin{eqnarray} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)} \end{eqnarray}$ sind, gilt auch (bitte selbst nachprüfen): $\begin{eqnarray} \sin(x)=\frac{\tan(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)} } \end{eqnarray}$ . Darin kann vor der Wurzel für manche x auch ein Minuszeichen stehen. Warum darfst du trotzdem diese Formel benutzen? Ersetze nun den Tangens gemäß deines Hinweises durch den Ausdruck mit z und ersetze dann den Sinus in deiner Formel.
03.02.2013, 14:56	arkhamcity	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution Ich setze ein: $\begin{eqnarray} <br /> cos^2(x) = 1-sin^2(x) \end{eqnarray}$ Dann komme ich auf: $\begin{eqnarray} \frac{1}{sin^2(x)+3} \end{eqnarray}$ Wie weiter ?der Rest klappt immer noch nicht.
04.02.2013, 10:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution Die Idee ist eher, diese Umformung zu machen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{4sin^2(x)+3cos^2(x)} = \frac{1}{4tan^2(x) + 3} \cdot \frac{1}{cos^2(x)} \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du die genannte Substitution anbringen. Die von zyko genannte Umformung des sin(x) kannst du dir sparen.
04.02.2013, 11:25	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution Ich dachte daran in der neuen Formel $\begin{eqnarray} \sin^2(x) \end{eqnarray}$ zu ersetzen mittels $\begin{eqnarray} \sin(x)=\frac{\tan(x)}{\sqrt{1+\tan^2(x)}%20} \end{eqnarray}$ und anschließend $\begin{eqnarray} \tan(x) \end{eqnarray}$ zu ersetzen mittels der Formel $\begin{eqnarray} \tan(x)=\frac{\sqrt{3}z}{2}z \end{eqnarray}$ Damit erhält man einen Ausdruck in z ohne Winkelfunktionen.
04.02.2013, 11:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Punkt ist, dass klarsoweit schon etwas weiter gedacht hat, denn mit seiner Produktdarstellung hat er das bei der Substitution anfallende Differential $\begin{eqnarray} \dd z = \frac{2}{\sqrt{3}} \frac{1}{\cos^2(x)} ~ \dd x \end{eqnarray}$ schon einbezogen, ohne sich mit irgendwelchen Wurzeln abzuplagen.
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04.02.2013, 16:12	arkhamcity	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntet ihr mir bitte noch einmal den Schritt von klarsoweit erklären. Ich habe ihn noch nicht wirklich verstanden.
05.02.2013, 08:19	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integration durch Substitution Welchen Schritt? Daß $\begin{eqnarray} \frac{1}{4sin^2(x)+3cos^2(x)} = \frac{1}{4tan^2(x) + 3} \cdot \frac{1}{cos^2(x)} \end{eqnarray}$ gilt, liegt doch auf der Hand. Beachte dabei, daß sin(x) = tan(x) * cos(x) ist.

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