Konvergenz

03.02.2013, 12:30

PlsHelpMe

Konvergenz

Hallo,

könnte mir mal bitte jemand kurz mit eigenen Worten beschreiben, was die Konvergenz eigentlich aussagt?
Und auch was ist ein Konvergenzkriterium und wann ist etwas konvergenz bzw. divergent?

Danke!

MfG Wink

03.02.2013, 12:33

Monoid

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RE: Konvergenz
Wofür gibt es Wikipedia ( für Funktionen )? geschockt

Wikipedia ( für Folgen )

Eigene Worte wären:

Eine Folge heißt konvergent, wenn ihr Grenzwert existiert. Andernfalls nennen wir sie divergent.

03.02.2013, 14:56

PlsHelpMe

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Naja die Erklärungen auf Wikipedia sind nicht immer die Besten und nicht immer Hilfreich... vorallem wenn man in dem Bereich noch kein Wissen hat

03.02.2013, 15:20

Monoid

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Verstehst du Wikipedia denn?

03.02.2013, 15:21

Ukalabumba

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Ich hoffe es ist okay, wenn ich mich einer ähnlichen Frage gleich anschließe:

Warum ist die Reihe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ divergent, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ jedoch konvergent? Sie nähern sich beide mit sich gegen unendlich entwickelndem n der Null an, jedoch nie ganz. Aus dem Skript verstehe ich es nur soweit, dass es irgendwas mit der "Geschwindigkeit" zu tun haben soll, mit der sie sich dem Grenzwert annähern.

Laut der eben genannten Definition von Konvergenz dürfte sich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ als divergente Reihe ja folglich nicht einer Zahl annähern...

03.02.2013, 15:28

Monoid

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Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist konvergent und nicht divergent. Wer behauptet denn sowas?

Was ist der Grenzwert der Folge?

03.02.2013, 15:51

PlsHelpMe

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Naja, es geht mit dem Verständnis...

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{2}} \end{eqnarray*}$ gehen beide gegen 0 und sind auch beide konvergent...

Ich hänge gerade eher bei Majorante und Minorante.

Folgende Aufgabe:
[attach]28243[/attach]

Mein größtes Problem ist wohl vorallem, da ich die Erklärung von Majorante und Minorante überhaupt nicht verstehe...
0,3^n geht gegen 0 und der Sinus bewegt sich zwischen -1 und 1 aber was ich damit nun machen soll? Kann jemanden helfen?

03.02.2013, 16:36

Iorek

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Du redest zuerst allgemein von Konvergenz, dann kommen Folgen dazu und jetzt auf einmal geht es um Reihenkonvergenz und Konvergenzkriterien...warum sagst du nicht von Anfang an, worum es dir geht? unglücklich

Wir haben also die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac {3}{10}\right)^n\cdot \sin(3n) \end{eqnarray*}$ und sollen diese Reihe auf (absolute) Konvergenz überprüfen, dabei ist der Hinweis aufs Majorantenkriterium. Wie lautet denn das Majorantenkriterium, was sagt es aus?

Edit: Bruch verbessert

03.02.2013, 16:46

Che Netzer

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Aber mit $\begin{eqnarray*} \frac3{10} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac13 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

03.02.2013, 16:51

Iorek

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Danke, wobei das die Konvergenz ja nicht beeinflusst hätte. Augenzwinkern

03.02.2013, 17:29

PlsHelpMe

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Mir ging es ja auch erst um Konvergenz allgemein aber da kam ich dann doch selber weiter doch bei den Majoranten hänge ich...

"Wie lautet denn das Majorantenkriterium, was sagt es aus?"
Genau das würde ich gerne wissen wollen! Mag ja sein, dass ihr aus Beiträgen wie bei Wikipedia schlau werdet aber da ich davon nicht wirklich Ahnung habe, kann ich mir da überhaupt nichts bei herleiten.

Ich meine |ak| kleinergleich |bk| ?
Ich weiß gerade nicht mal was ak und bk ist...

03.02.2013, 17:43

Iorek

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Ich sage nicht, dass die Beiträge bei Wikipedia immer gut geeignet sind, aber ihr werdet das Majorantenkriterium ja mal in der Vorlesung bzw. in euren Übungen benutzt haben, und zumindest die Aussage könntest du ja mal nachschlagen und sagen, wo es genau bei dir hängt. $\begin{eqnarray*} |a_k|\leq |b_k| \end{eqnarray*}$ kommt zwar darin vor, ist aber noch lange nicht die genaue Aussage.

Aus [WS] Reihen:

Zitat:

Satz: Majorantenkriterium
Sei $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty b_k \end{eqnarray*}$ eine konvergente Reihe. Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert absolut, wenn es ein $\begin{eqnarray*} N\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ sowie ein $\begin{eqnarray*} M\in\mathbb R_+^* \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} |a_k|\leq M\cdot b_k \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\geq N \end{eqnarray*}$ gilt.

Umgangssprachlich ausgedrückt: wenn wir eine "größere" Reihe finden, die konvergiert, dann konvergiert auch unsere "kleinere" Reihe.
1. Wie sieht hier erst einmal $\begin{eqnarray*} |a_k| \end{eqnarray*}$ aus, was könnte man da für Abschätzungen nach oben machen?
2. Was für konvergente Reihen sind dir bekannt?

03.02.2013, 18:03

PlsHelpMe

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Und wie erkenne ich, was die große und was die kleine Reihe ist?

Wie schon oben gesagt, wird die 0,3^n gegen 0 gehen (Nullreihe) und der Sinus bewegt sich zwischen -1 und 1.
Wenn ich nun mal annehme, dann 0,3^n gegen 0 geht, kann ich ja 0 * sin(3x) rechnen, was ebenfalls 0 wäre. Also würde die Reihe gegen 0 konvergieren? verwirrt

03.02.2013, 18:11

Iorek

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Oje, dir scheinen nicht nur Informationen zum Majorantenkriterium zu fehlen, auch Lücken in den Grundlagen zur Reihenkonvergenz lassen sich in deinem letzten Post erkennen...

Mit deiner Argumentation konvergiert auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k \end{eqnarray*}$ gegen 0, da ja $\begin{eqnarray*} \frac 1k\rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ gilt. Ebenso also auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2} \end{eqnarray*}$ . Dabei ist aber $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1{k^2}=\frac {\pi^2}6 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac 1k \end{eqnarray*}$ konvergiert gar nicht erst. Bloß weil die Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, muss nicht auch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ konvergieren und erst Recht nicht den Reihenwert 0 besitzen. Den Reihenwert kann man sowieso nur in Spezialfällen explizit berechnen, die üblichen Konvergenzkriterien (Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Majorantenkriterium, Integralkriterium, Dirichletkriterium etc.) machen über den Reihenwert keine Aussage.

Wie man eine passende "größere" Reihe erkennt, kann man nicht allgemein sagen. Da gehört Übung dazu, auch ein Fundus an bekannten konvergenten Reihen kann da nicht schaden. Also noch einmal: welche konvergenten Reihen sind dir bekannt? Danach kann man mal gucken, ob man da irgendwie eine Abschätzung reinbekommen kann.

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