Funktionsgleichung aufstellen anhand einer Wendetangente |
| 03.02.2013, 12:38 | mr-it | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Funktionsgleichung aufstellen anhand einer Wendetangente ich habe folgendes Problem: Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3. Grades geht durch den Punkt P(2/3) und hat den Wendepunkt W (0/yw). Die Wendetangente hat die Gleichung y= 3/2x+1. Bestimme die Funktionsgleichung. So mein erster Schritt war es die allgemeine Form aufzuchreiben, also: ax^3+bx^2+cx+d Nun muss ich ja 4(?) Angaben haben oder? ALso ich habe P(2/3) und W bei dem ich einfach die Gleichung vom Rechner hab zeichnen lassen und habe dann (0/1) abgelesen. Aber wie mache ich weiter? Hoffe ihr könnt mir helfen, ich sitze seit 10 Uhr an der Aufgabe. |
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| 03.02.2013, 12:56 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, es ist richtig. Wir brauchen 4 Bedingungen. Richtig hast du auch die Bedingung bezüglich des Punktes P(2|3) genannt. Die Wendetangente und den Wendepunkt kannst (und sollst) du auch ohne Rechner finden^^. Die Tangente berührt doch die Funktion. Da du also die Stelle des Wendepunktes kennst und die zugehörige Tangentengleichung, kennst du auch den y-Wert -> Einfach die Stelle in die Tangente einsetzen. Kannst du auch was zur Steigung am Wendepunkt sagen? Bzw. welche Bedingung für den Wendepunkt gelten muss? 
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| 03.02.2013, 14:06 | mr-it | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Meinst du für x Null einsetzen und dann rechnen dann kommt 1 raus? Okey aber wie mache ich weiter? Kannst du mir das etwas erklären bitte? |
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| 03.02.2013, 14:11 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es. Setz doch mal 0 ein -> y= 3/2x+1 Was erhältst du dann für y? Genau y=1. Wir wissen also, unser Wendepunkt ist bei W(0|1). Damit haben wir 2 Bedingungen. Fehlen noch 2 weitere. Welche Bedingung gilt für einen Wendepunkt? Welche Steigung liegt am Wendepunkt vor? |
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| 03.02.2013, 14:36 | mr-it | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f'' (x0) = 0 ? Die Steigung berechne ich indem ich die Tangentengleichung einmal ableite? y'=1,5? |
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| 03.02.2013, 14:41 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau. Und x0=0, denn das ist ja die Stelle des Wendepunkts. Die Steigung einer Geraden kannst du direkt am Vorfaktor von x ablesen, aber Ableiten ist natürlich genauso richtig, da dasselbe. Wir haben also die 4 Bedingungen: f(0)=1 f'(0)=1,5 f''(0)=0 f(2)=3 Das löse nun
. |
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| 03.02.2013, 15:56 | mr-it | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok danke erstmal, aber das mit der Stelle des Wendepunktes verstehe ich nicht ganz da ich leider zwei Wochen Krank war und auf dem Berufskolleg alles in einem Schuljahr durchgezoen wird. Also Laut Formelsammlung ist ein Wendepunkt ein Extrempunkt der 1. Ableitung von f. Aber was meinen die mit f? Ist das die Tangentengleichung oder die gesuchte Funktion? |
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| 03.02.2013, 16:04 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Wendepunkt liegt dann vor, wenn notwendige und hinreichende Bedinung erfüllt ist. Schlage nach, welche Bedingungen das sind. Wir können übrigens nur was mit der notwendigen Bedingung anfangen, da wir ja für eine Gleichung genau einen Wert brauchen. Das war das f''(0)=0 |
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| 03.02.2013, 17:37 | mr-it | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f'(0) = a*0^0+b*0^2+c*0+d=1,5 >d=1,5 f(2) = a*2^3+b*2^2+c*2+d=3 >a=0,25 f(0) = a*0^3+b*0^2+c*0+d=1 >? f''(0) =a*0^3+b*0^2+c*0+d=0 >? Irgendwie bin ich verwirrt? 
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| 03.02.2013, 17:59 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bist du schon auf die Idee gekommen den allgemeinen Ausdruck y=ax³+bx²+cx+d abzuleiten? Immerhin spielen wir auch mit f' und f'' rum. Da bringt uns f=y nicht viel
. |
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| 03.02.2013, 18:30 | mr-it | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist das Ergebnis: y=-1-12x^3+x^2+1,5x+1 ? |
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| 03.02.2013, 18:57 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also den ersten Teil versteh ich nicht so ganz...-1-12x³ 
.Oder meinst du genau was du sagst? Dann würde sich doch aber -1+1=0 ergeben
.1,5x+1, also die letzten beiden Summanden sind richtig bestimmt, nicht aber die ersten beiden Summanden. |
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| 03.02.2013, 19:04 | mr-it | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh sorry das soll -1/12x^3 heißen Bei b bekam ich 0 raus. y''(0) = 0 =6a*0+2b | 0 =2b |/2 0 =b |
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| 03.02.2013, 19:12 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ah fast. Das wird wohl aber nur ein kleiner Rechenfehler sein, den du eingebaut hast. Es stimmt nämlich alles bis auf a. Du hast: y=-1/12*x^3+1,5x+1 Richtig ist aber: y=-1/8*x^3+1,5x+1 |
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| 03.02.2013, 19:27 | mr-it | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jo war ein kleiner Rechenfehler, aber egal gibt nur einen Punkt abzug. Vielen Vielen Dank für deine ganztätige Hilfe! 
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| 03.02.2013, 19:29 | Equester | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gut, wenn du den Fehler gleich lokalisiert hast. Das Prinzip scheint ja verstanden und das ist das eigentlich wichtige 
.Gerne, 
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