Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2

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03.02.2013, 13:53	Philipp68	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Meine Frage: hey, man soll die Funktion in eine Taylor-Reihe mit den Entwicklungsmittelpunkt x0 entwickeln! $\begin{eqnarray} f(x) = \frac{1}{1-x} ; x_0 = 0 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: 1. Ableitungen bilden: $\begin{eqnarray} f'(x) = \frac{1}{(1-x)²} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f''(x)= \frac{2-2x }{(1-x)^4} \end{eqnarray}$ Alles eingesetzt: $\begin{eqnarray} = \frac{1}{1}x^0 + \frac{1}{1}* x^1 + \frac{2}{2}x² = 1 + x + x² \end{eqnarray}$
03.02.2013, 14:15	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Naja, die Umformung zu einer Potenzreihe erfüllt wohl den selben Zweck. Dazu sollte man sich klar machen das gilt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}r^k=\frac{1}{1-r} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|r\|<1 \end{eqnarray}$
03.02.2013, 14:17	Philipp68	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Aber so wie ich es gemacht, wäre es auch richtig?
03.02.2013, 14:18	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Ne, du hast doch nur zwei Ableitungen gebildet und nicht mal eine Reihe dazu aufgeschrieben wie das Bildungsgesetz dazu lautet.
03.02.2013, 14:29	Philipp68	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Okey und wenn ich weitere Ableitungen gebildet habe, hänge ich diese dann dran? Ist es notwendig, das Bildungsgesetz aufuschreiben bei dieser Aufgabe?
03.02.2013, 15:31	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Wie jetzt? Du sollst doch für die Funktion f(x) eine Taylor Reihe angeben welche diese Funktion beschreibt. Ich sehe noch keine Reihe die du angegeben hast lediglich hast du Ableitungen gebildet.
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03.02.2013, 15:41	Philipp68	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 $\begin{eqnarray} \frac{f^{n+1}}{n!} x^n \end{eqnarray*}$
03.02.2013, 15:45	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Bevor hier weiter rum geraten wird solltest du dich wohl noch etwas in das Thema einlesen. http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe
03.02.2013, 15:50	Philipp68	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Also wenn ich das richtig gelesen habe, wäre es : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{x=0}^\infty \frac{f^n a}{n!} * (x-0)^n \end{eqnarray*}$ Tut mir leid, wenn ich es immernoch nicht verstanden habe. Aber genau das wäre doch eigentlich die Form, meiner Reihe oder seh ich das falsch?
03.02.2013, 15:59	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Nein! Die Taylorreihe hat die Form: $\begin{eqnarray} f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{k+1}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k \end{eqnarray}$ Wenn du es nun mit den Ableitungen machen möchtest im Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0=0 \end{eqnarray}$ dann solltest du die Ableitungen von $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ erstmal bilden und das dieses mal korrekt!
03.02.2013, 16:06	Philipp68	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Achso jetzt ist es mir klar! Sollte ich das nachdem ich Taylor-Reihe gebildet habe auch angeben?
03.02.2013, 16:08	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Wie meinst du das mit "Nachdem ich die Taylor-Reihe angegeben habe"? Um die Taylor-Reihe zu bestimmen bildet man führ gewöhnlich die Ableitungen und setzt den Entwicklungspunkt in die Ableitungen ein und versucht anhand der Werte eine Entwicklungsvorschrift aufzustellen.
03.02.2013, 16:12	Philipp68	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Nun, ich bilde für gewöhnlich zuerst die Ableitungen. Danach setze ich die Ableitungen in die "Standard"-Taylor-Reihe ( weiß nicht ob man das so nennen kann ). Und dann rechne ich jeden Bruch aus der natürlich noch mit (x-x_0)^k multipliziert wird, um dann das Taylerpolynom aufzustellen. So wie hier im Beispiel gezeigt wird: http://matheplanet.com/default3.html?cal...ww.google.de%2F
03.02.2013, 16:24	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Ja, genau das ist es doch was ich meine.
03.02.2013, 16:27	Philipp68	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Habe ich das oben nicht gemacht, nur mit zu wenig Ableitungen?
03.02.2013, 16:55	Cheftheoretiker	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Du hast nicht einmal die Ableitungen korrekt gebildet!
03.02.2013, 16:59	Philipp68	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylor- Reihe mit Entwicklungspunkt Nr.2 Werde es gleich nacharbeiten!

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