Korrekte Verwendung der Abbildungsvorschriften

03.02.2013, 15:12

Fuchss

Korrekte Verwendung der Abbildungsvorschriften

Hallo!

Vielen Dank erstmal, dass du meinen Beitrag anschaust.

Ich sitze vor einer Verkettungsaufgabe und bin nicht sicher, ob meine Lösung so korrekt ist.http://www.matheboard.de/newthread.php?boardid=19
Es handelt sich um Folgendes:
Es sei T eine Translation, $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ A und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ B zwei Punktspiegelungen an zwei verschiedenen Punkten A und B, Zeigen Sie unter Verwendung entsprechender Abbildungsvorschriften, dass $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ ° T ° $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ A eine Translation ist. Welche Richtung hat diese?

Ich bin davon ausgegangen, dass die folgenden Vorschriften gelten:
T ((x,y))= (x+r, y+s) mit r,s $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ A ((x,y))= (-x + 2 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ , -y + 2 $\begin{eqnarray*} y_{1} \end{eqnarray*}$ )
$\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ ((x,y))= (-x + 2 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ , -y + 2 $\begin{eqnarray*} y_{2} \end{eqnarray*}$ )
- Hier die 1. Anmerkung: Ich bin mir nicht sicher, ob ich $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} B^{-1} \end{eqnarray*}$ so lassen kann, oder ein Vorzeichen verändern muss.

Eingesetzt komme ich schließlich auf:
(-(-x+2 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ + r) + 2 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ , -(-y+2 $\begin{eqnarray*} y_{1} \end{eqnarray*}$ + r) + 2 $\begin{eqnarray*} y_{2} \end{eqnarray*}$ = (x- 2 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ - r+ 2 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ , y- 2 $\begin{eqnarray*} y_{1} \end{eqnarray*}$ - r+ 2 $\begin{eqnarray*} y_{2} \end{eqnarray*}$ = x+2 ( $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ )-r, y+2 ( $\begin{eqnarray*} y_{2} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} y_{1} \end{eqnarray*}$ )-s

Bezeichnet man nun ( $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ ) als r' und ( $\begin{eqnarray*} y_{2} \end{eqnarray*}$ - $\begin{eqnarray*} y_{1} \end{eqnarray*}$ ) als s', erhält man eine Translation in Richtung $\begin{eqnarray*} \frac{s'}{r'} \end{eqnarray*}$

Nun meine Frage: Ist die Rechnung so korrekt, oder hätte ich bereits an der Abbildungsvorschrift ein Vorzeichen tauschen müssen? Dann käme ich aber ja nicht auf eine Translation als Ergebnis...

Über eine Rückmeldung oder Korrektur würd ich mich sehr freuen, danke nochma fürs Lesenl smile

03.02.2013, 15:41

mYthos

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Ist m.E. korrekt.

Da Punktspiegelungen nichts anderes als Drehungen um 180° sind, ist bereits deren Hintereinanderausführung eine Translation (--> 360°).
Insbesondere ergibt die Verknüpfung einer Punktspiegelung mit ihr selbst die identische Abbildung. Somit ist die zu einer gegebenen Punktspiegelung inverse wiederum diese Punkspiegelung selbst, daher sind die Vorzeichen nicht zu ändern.

mY+

03.02.2013, 15:49

Fuchss

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Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung.

Von dieser Seite aus hab ich gar nicht gedacht, wie blöd...
Habe auch ähnliche Aufgaben gelöst, wobei ich $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ A mit (-x+2 $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ , -y+2 $\begin{eqnarray*} y_{1} \end{eqnarray*}$ bezeichnet habe und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ dann mit (x-2 $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ , y-2 $\begin{eqnarray*} y_{2} \end{eqnarray*}$
Ist dies dann völlig falsch, oder ist es nur eine unnötige Umformung?

03.02.2013, 21:19

mYthos

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Das ist in zweifacher Hinsicht falsch:

1.
Das Zentrum hat sich doch nicht verändert, es muss also beide Male die Koordinaten (x1; y1) haben

2.
Die Koordinaten des Bildpunktes einfach negativ machen führt keinesfalls zu dem richtigen Bildpunkt. Spiele dies doch einfach mal mit gegebenen Koordinaten durch!
Habe ich dir nicht schon gesagt, dass diese Abbildung und ihre inverse den gleichen Bildpunkt ergeben? Wenn du dessen Koordinaten nun negativ machst, kommst du ganz woanders hin.

mY+

04.02.2013, 10:31

Leopold

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Irgendwie merkwürdig, daß in der Aufgabe von $\begin{eqnarray*} {\sigma_B}^{-1} \end{eqnarray*}$ die Rede ist. Punktspiegelungen sind doch involutorisch (selbstinvers): $\begin{eqnarray*} {\sigma_B}^{-1} = \sigma_B \end{eqnarray*}$ . Dann wäre nur $\begin{eqnarray*} \sigma_B \circ T \circ \sigma_A \end{eqnarray*}$ zu untersuchen. verwirrt

Ich würde auch nicht mit Koordinaten rechnen. Das bringt keinerlei zusätzliche Erkenntnis und erfordert nur höheren Schreibaufwand. Wenn $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ die Ortsvektoren von $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ sind und $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ die Ortsvektoren des Originalpunktes $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und Bildpunktes $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , so kann man die Abbildungen durch

$\begin{eqnarray*} y = \sigma_A(x) = 2a - x \, , \ \ y = \sigma_B(x) = 2b - x \, , \ \ y = T(x) = x+c \end{eqnarray*}$

beschreiben ( $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ ist der Translationsvektor). Und die Verkettung $\begin{eqnarray*} \left( \sigma_B \circ T \circ \sigma_A \right)(x) \end{eqnarray*}$ läuft jetzt auf eine leichte Einsetzübung hinaus.

04.02.2013, 12:04

Fuchss

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Danke für deine Antwort,Leopold.

Warum es so bezeichnet wird, weiß ich leider auch nicht.
Es ist auch keinerlei Hinweis auf B, oder die Punktspiegelung an B.

Da wir nicht mit Vektoren gerechnet haben, werde ich einfach das Vorzeichen nicht ändern und darauf hinweisen, dass Punktspiegelungen selbstinvers sind und daher die Abbildungsvorschriften identisch bleiben... Lehrer

Vielen Dank, ihr habt mir wirklich geholfen Mit Zunge

04.02.2013, 13:14

Leopold

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Zitat:

Original von Fuchss
Da wir nicht mit Vektoren gerechnet haben

Verstehe ich nicht. Bei dir wimmelt es doch überall von Vektoren, überflüssigerweise nur mit ihren Koordinaten.

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