Zeigen, dass die lineare Abbildung L invertierbar ist.

03.02.2013, 15:26	Vinterblot	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass die lineare Abbildung L invertierbar ist. Hallo, folgendes Problem: $\begin{eqnarray} <br /> L (x, y , z) = (x-y, x+z, x + y + 2z)<br /> \end{eqnarray}$ Wir sollen nun zeigen, dass L invertierbar ist. Im Grunde ganz einfach, dachte ich. 1) Abbildungsmatrix aufstellen 2) Invertierte Matrix bilden 3) Invertierte Abbildung aufstellen 4) Probe Wir haben nun folgende Abbildungsmatrix aufgestellt $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 & -1 & 0 \\<br /> 1 & 0 & 1 \\<br /> 1 & 1 & 2 \\<br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ kriegten damit aber keine invertierbare Matrix raus. Wir haben dann noch die transpornierte Matrix aufgestellt $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix}<br /> 1 & 1 & 1 \\<br /> -1 & 0 & 1 \\<br /> 0 & 1 & 2 \\<br /> \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ kommen aber auch auf keine Lösung. Was machen wir beim Aufstellen der Abbildungsmatrix verkehrt?
03.02.2013, 15:30	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass ihr nichts herausbekommt, liegt wohl daran, dass diese Matrix nicht invertierbar ist. Check mal die Determinante
03.02.2013, 15:38	Vinterblot	Auf diesen Beitrag antworten »
Japp, dass sag ich ja. Die frage ist jetzt: Ist die Abbildungsmatrix korrekt aufgestellt und die Abbildung nicht invertierbar? Oder sind wir nur zu blöd, die Matrix aufzustellen?
03.02.2013, 15:47	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja die Matrix ist richtig. Die Abbildung ist nicht invertierbar.
03.02.2013, 15:48	Vinterblot	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche denn? Alternative 1 oder 2?
03.02.2013, 15:55	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Na die erste natürlich. Was ihr mit der Transponierten anfangen wolltet, versteh ich allerdings eh nicht.
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03.02.2013, 16:02	Vinterblot	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir waren uns nicht sicher, ob wir die Matrix richtig nach Zeilen/Spalten aufgestellt hatten und haben daher "pro forma" mal die transpornierte aufgestellt um zu schauen, ob diese invertierbar ist. Dass mit der Determinante = 0 war uns zu dem Zeitpunkt noch nicht klar, dann hätten wir uns das sparen können. Danke vielmals für die Aufklärung, wir waren hier schon am Verzweifeln.
03.02.2013, 16:05	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Nur noch als Tipp: Es gilt Zeilenrang=Spaltenrang. Für die Invertierbarkeit ist es somit egal, ob man eine Matrix oder deren Transponierte betrachtet.
03.02.2013, 16:09	Vinterblot	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Determinante = 0 ist, ist die Matrix nicht invertierbar. Ist die Matrix in jedem anderen Fall invertierbar? Oder anders gefragt: Wäre bereits mit dem berechnen der Determinante gezeigt, ob die Matrix invertierbar ist?
03.02.2013, 16:21	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja es reicht, die Determinante zu berechnen. Ist sie 0, ist die Matrix singulär, also nicht invertierbar. Kommt eine Zahl ungleich 0 raus, ist sie invertierbar.

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