Verschoben! Diophantische Gleichung

03.02.2013, 16:08	Tesserakt	Auf diesen Beitrag antworten »
Diophantische Gleichung Guten Tag! Ich möchte untersuchen, ob folgende Gleichung positive ganzzahlige Lösungen ungleich für $\begin{eqnarray} p,q,k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ (wobei $\begin{eqnarray} 0 \not \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ) besitzt: (ich tendiere stark dazu, dass keine Lösungen existieren) $\begin{eqnarray} p^4 + 4q^4 = k^2 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ teilerfremd sein müssen. Über etwaige Betrachtungen (pythagoreische Zahlentripel) konnte ich bereits darauf schließen, dass einer der folgenden Fälle erfüllt sein muss: Fall 1: $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist ungerade und $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ ist gerade. Fall 2: $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ ist gerade und $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ ist ungerade. Fernerhin kann ich abschätzen, dass $\begin{eqnarray} 1 \leq p \leq \sqrt{k} \end{eqnarray}$ gelten muss. Doch dann? Wie muss ich fortfahren?

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