Für welche a existiert Grenzwert?

03.02.2013, 16:20	susmus	Auf diesen Beitrag antworten »
Für welche a existiert Grenzwert? Meine Frage: Für welche a (aus den Natürlichen Zahlen mit 0) existiert der Grenzwert lim (x->0) x^a * \|x+(1/x)\| (Element R U {-unendlich, +unendlich}) ? Meine Ideen: Hoffe, dass ist entzifferbar. Weiß ehrlich gesagt nicht ob es eine rechnerische Lösung gibt, wenn ja ist sie mir unbekannt. Im Betragszeichen wird der lim ja unendlich, aber wie ich dadurch auf die Lösung komme weiß ich nicht. Wäre sehr dringend, danke
03.02.2013, 18:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann schreiben wir einmal $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f(x) = x^n \cdot \left\| x + \frac{1}{x} \right\| \, , \ \ x \neq 0 \end{eqnarray}$ ist für gerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gerade und für ungerade $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ungerade. Es genügt daher, beim Grenzübergang $\begin{eqnarray} x \to 0 \end{eqnarray}$ den Fall $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ zu betrachten und das Ganze durch Symmetriebetrachtungen auf den Fall $\begin{eqnarray} x<0 \end{eqnarray}$ zu übertragen. Sei also jetzt $\begin{eqnarray} x>0 \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} f(x) = x^n \cdot \left( x + \frac{1}{x} \right) = x^{n+1} + x^{n-1} \end{eqnarray}$ Am besten ist wohl eine Fallunterscheidung $\begin{eqnarray} n=0, n=1, n \geq 2 \end{eqnarray}$ .
03.02.2013, 18:08	susmus	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke, das erscheint erstmal logisch. Um nachzufragen, bin mir gerade nicht sicher, was es heißt "existiert ein Grenzwert", heißt das es darf alles nur nicht unendlich rauskommen? das war es doch bei konvergenten Reihen. Ist es hier anders? und die Fallunterscheidung; für n=0 kommt lim= unendlich, für n=1 ebenfalls, für n=2 auch usw. oder habe ich denkfehler drinne? vielen dank

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