Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen

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ErlebnisZahl Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Wir definieren die folgende Relation auf N für alle a,b element N.

a b ; 5| (4a +b)

1)Zeigen Sie, dass es eine Äquivalenzrelation ist.
2) WIe viele Äquivalenzklassen besitzt diese Relation?

Eine Äquivalenzrelation muss Reflexiv, Symmetrisch und Transitiv sein.

Reflexiv muss gelten, da a a ,
dh. 5| (4a +4a) 5| 2(4a) . Da 5 Prim ist muss es entweder 5| 2 oder 5| (4a) gelten. Also reflexiv.

Symmetrie. a b ; 5| (4a +b)
und b a. dh 5| (4b +a)

Transitiv. a b 5| (4a +b)
b c 5| (4b +c)
Also muss auch a c gelten mit 5| (4a +c).

Zu der Frage, wie viele Äquivalenzklassen es gibt. Habe ich mir eine Tabelle erstellt und jeweils die Reste verglichen mit (modulo 5)
z= q*5+r ( r kann nur 0,1,2,3 und 4 sein)

Also nur 5 Äquivalenzklassen.

Ich Zweifel an der Richtigkeit meiner Lösung und würde es gerne ans Tageslicht bringen smile
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Zitat:
Original von ErlebnisZahl
dh. 5| (4a +4a) 5| 2(4a) . Da 5 Prim ist muss es entweder 5| 2 oder 5| (4a) gelten. Also reflexiv.

Die Zeile ist eigentlich von Anfang bis Ende falsch. Schau da bitte nochmal drüber.

Zitat:
Original von ErlebnisZahl
Symmetrie. a b ; 5| (4a +b)
und b a. dh 5| (4b +a)

Ich sehe da keinerlei Begründung. Du hast nur hingeschrieben, was du eigentlich zeigen sollst. Mehr aber auch nicht.

Zitat:
Original von ErlebnisZahl
Transitiv. a b 5| (4a +b)
b c 5| (4b +c)
Also muss auch a c gelten mit 5| (4a +c).

Auch hier: Nix an Begründung. Einfach nur das hingeschrieben, was gezeigt werden soll. Wo ist der Beweis?

Und: Ja, es gibt fünf Äquivalenzklassen.
ErlebnisZahl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Danke Mulder für die schnelle Antwort. Wir haben immer Relationen gehabt mit
5| a^4-b^4 oder 4 |a-b. An den konnte ich es ganz gut beweisen, aber in dieser Aufgabe bin ich durcheinander.

Kannst du mir bitte ein Tipp geben?
ErlebnisZahl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Ich habe noch mein Ansatz.

Sei a . So muss (a,a) Relation sein.
a a , bzw.

5| 4a +a

5|5a und das bedeutet 5|5 oder 5|a.

Ist es richtig so?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Zitat:
Original von ErlebnisZahl
Danke Mulder für die schnelle Antwort. Wir haben immer Relationen gehabt mit
5| a^4-b^4 oder 4 |a-b. An den konnte ich es ganz gut beweisen, aber in dieser Aufgabe bin ich durcheinander.

Diese Aufgabe ist vom Prinzip her kein Stück anders.

Zitat:
Original von ErlebnisZahl
Kannst du mir bitte ein Tipp geben?

Ja, vernünftig einsetzen.

bedeutet nicht , sondern . Und gilt das für jedes a?

Und zur Symmetrie: Schreib doch mal hin, was 5|(4a +b) bedeutet. Danach sind das nur ganz simple Umformungen, um auf 5|(4b +a) zu kommen.

Transitivität geht ähnlich.

Edit:

Zitat:
5|5a und das bedeutet 5|5 oder 5|a.

Letzteres ist recht unspektakulär, da 5|5 IMMER gilt. 5|5a gilt für jedes a und mehr ist auch gar nicht zu tun. Damit ist die Relation reflexiv.

Dass 5 eine Primzahl ist, braucht man hier eigentlich insgesamt nirgends.
ErlebnisZahl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Danke für den letzten Tipp, das mit der Teilbarkeit.

Symmetrie:

a b bedeutet;

5| (4a+b)
5| (4a) +(b)
5| 0,25(4a) + 4(b)

also gilt auch.
b a und dh. 5|4a+b
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Zitat:
Original von ErlebnisZahl
5| (4a+b)
5| (4a) +(b)
5| 0,25(4a) + 4(b)

also gilt auch.
b a und dh. 5|4a+b

Was passert denn von Zeile 2 zu Zeile 3?
ErlebnisZahl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
ich habe überlegt wie ich aus 4a -> a machen kann. Ich dachte an -3a wobei das mir so nicht logisch kam. übrigens habe ich das mit der Transitivität noch mal probiert.

a a b .dh.

5|4a+b

b c

5|4b+c

5| (4a +b)+(4b+c)
5| (4a+c)+(5b)
5| (4a+c) und 5|(5b)

also gilt a c. Somit 5|(4a+c)
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Zitat:
Original von ErlebnisZahl
ich habe überlegt wie ich aus 4a -> a machen kann. Ich dachte an -3a wobei das mir so nicht logisch kam.

Jetzt weiß ich trotzdem nicht so recht, was du da eigentlich gemacht hast... verwirrt

Zitat:
Original von ErlebnisZahl
5| (4a+c)+(5b)
5| (4a+c) und 5|(5b)

Warum muss denn nun 5| (4a+c) gelten? Vielleicht hattest du den richtigen Gedanken, aber wenn 5 eine Summe teilt, muss 5 ja nicht zwangsläufig auch beide Summanden teilen. Siehe z.B. 5|(2+8). Insofern fehlt mir da vielleicht noch ein kleines Argument, warum man das hier so machen kann.
ErlebnisZahl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Eigentich wusste ich nicht was ich machen sollte bei der Symmetrie. Also die Umformung hat mir gefehlt und ich habe mir angeguckt, was gelten soll.

b a , dh 5|4b+a

Danach habe ich willkürlich umgeformt, bzw. multipliziert.

Ist denn die Transitivität falsch geworden ? unglücklich

Schließlich ist ja mein Ziel

a c, dh. 5|4a+c zu beweisen.
Aus dem Grund bin ich so vorgegangen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Zitat:
Original von ErlebnisZahl
Ist denn die Transitivität falsch geworden ?

Keine Ahnung, du schreibst ja nicht auf, was du dir dabei denkst.

Zitat:
5| (4a+c)+(5b)
5| (4a+c) und 5|(5b)

Wieso? Wenn du das hinschreibst, musst du ja auch begründen können, warum das so ist. Weil das ja eigentlich auch ziemlich banal ist.

Zur Symmetrie: Es sei , also



Dann gibt es ein , so dass



ist. Multplizieren mit 4 liefert:



Nun subtrahieren wir auf beiden Seiten 15a:



Also:



Damit ist durch teilbar, also .

Also ist die Relation symmetrisch.

Das mal so als Beispiel, wie man es machen kann und auch richtig aufschreibt.
ErlebnisZahl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Ich danke dir für deine Geduld. Ich bin etwas schluderig mit der Schreibweise.
ErlebnisZahl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
a b. dh. 5|4a+b (I)

b c. dh. 5|4b+c (II)

Ich addiere (I)+(II) und erhalte :

5| (4a +b)+(4b+c) ( Ich löse die Klammern auf und Addiere alle b zusammen)

5| (4a+c)+(5b)

5| (4a+c) und 5|(5b)

5|(5b), definitiv weil wir die Zahl b mit 5 multiplizieren.

5| (4a+c) bedeutet laut der Aufgabenstellung das ac und somit gilt auch, dass 5| (4a+c)

Somit richtig ?
ErlebnisZahl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Bist du genauso vorgeangen wie ich bei der Bestimmung der Äquivalenzklassen?

''Zu der Frage, wie viele Äquivalenzklassen es gibt. Habe ich mir eine Tabelle erstellt und jeweils die Reste verglichen mit (modulo 5)
z= q*5+r ( r kann nur 0,1,2,3 und 4 sein)

Also nur 5 Äquivalenzklassen. ''
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Zitat:
Original von ErlebnisZahl
5| (4a+c)+(5b)
5| (4a+c) und 5|(5b)

Den Schritt hast du schon 20 mal hingeschrieben, schaffst es aber nicht, ihn zu begründen.
ErlebnisZahl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
ich bin was Mathematik angeht etwas begrenzt unglücklich
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Naja, hätte man genau so machen können wie ich es vorhin bei der Symmetrie gemacht habe.



Also mit



Und damit



Also ist durch teilbar.

Edit: Ich bin den Rest des Tages wohl nicht mehr online.
ErlebnisZahl Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrelation und Äquivalentklassen
Danke Mulder. Ich habe noch andere Relationen lösen kann. VIelen Dank!
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