Relation, transitivität

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jaykop Auf diesen Beitrag antworten »
Relation, transitivität
Hallo,
brauche wieder eure Hilfe.
Habe folgende Aufgabe gegeben mit Musterlösung. Verstehe jedoch nicht die Lösung zum Beweis der Transitivität wie man zu dem schritt a*y*v = b*x*v gekommen ist. Könnte mir einer bitte sagen welche Regel benutzt wurde oder die Logik und ob meine Lösung so auch richtig wäre ?


Aufgabe:
http://s7.directupload.net/images/130203/ztkuuy98.jpg
Musterlösung:
http://s1.directupload.net/images/130203/ji58mllr.jpg

Meine Lösung var:

Transitivität Def.:


Es muss gelten:



Jetzt muss gezeigt werden das daraus xRz gilt:




ist wurde die transitivität gezeigt
ErlebnisZahl Auf diesen Beitrag antworten »

durch konkrete Zahlenbeispiele kann man leider nichts beweisen in der Mathematik. unglücklich
jaykop Auf diesen Beitrag antworten »

dann muss ich mir leider angewöhnen mit den Variablen zu arbeiten. Haste auch ne idee zu der Musterlösung wie man da zu dem Schritt a*y*v = b*x*v gebkommen ist ?
jaykop Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe es gerade verstanden wie man drauf kommt.

die Formel x*v = y*u wird nach x aufgelöst daraus erhält man x = (y*u) / (v)

in dem nächsten schritt wurde einfach das jetzt gefundene x in
a*y = b*x eingefügt sodas wir diese Formel hier erhalten

a*y = b*((y*u)/(v))
jetzt mit v multiplizieren und wir erhalten

a*y*v = b*y*u

Danke! kann geschlossen werden.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jaykop

die Formel x*v = y*u wird nach x aufgelöst daraus erhält man x = (y*u) / (v)


was du da machst, ist gar nicht erlaubt. Du befindest dich nicht in einem Körper. Im Ring kann man nicht so einfach dividieren.
jaykop Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich verstehe nicht ganz wieso ? nach meinen Recherchen darf man das siehe z.B diese Seite.

Rechenoperationen auf Ganze Zahlen
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Die ganzen Zahlen sind aber nicht abgeschlossen unter Quotientenbildung. Rate mal, warum die Musterlösung so vorgenommen wird, wie es dort geschrieben steht. Siehst du dort irgendwo eine Division?

ist ein Ring und kein Körper. Auf einem Ring ist eine sogenannte Addition und eine sogenannte Multiplikation definiert. Unter der Addition ist ein Ring eine abelsche (d.h. kommutative) Gruppe, unter der Multiplikation eine u.U. nicht-kommutative Halbgruppe. Du hast es bei mit einem (unter der Multiplikation) kommutativen, nullteilerfreien Ring mit Einselement zu tun.

Nur auf Körpern kannst du eine Division definieren, da dort jedes Element (außer der 0) ein multiplikatives Inverses besitzt. Für gibt es zwar einen Quotientenkörper, dies ist allerdings , der Körper der rationalen Zahlen.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

In deiner Aufgabe geht es gewissermaßen auch um , denn die obigen Äquivalenzklassen von Zahlenpaaren aus entsprechen gerade den rationalen Zahlen.
jaykop Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe hier mal nochmal die Lösung eingetippt: Was ich nicht verstehe ist die komutativität auf einen Ring anzuwenden.

(a,b)R(x,y) und (x,y)R(u,v)

UND

ich verstehe immer noch nicht wieso man hier die linke Seite vom UND einfach mit einem v erweitern kann.
UND
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jaykop

ich verstehe immer noch nicht wieso man hier die linke Seite vom UND einfach mit einem v erweitern kann.


warum soll man das nicht dürfen? Man wendet einfach die im Ring definierte Multiplikation an, links mit und rechts mit . Man muss noch nicht mal auf die Reihenfolge der Faktoren achten, da ein kommutativer Ring ist, die Faktoren unter Multiplikation also vertauschbar sind.
jaykop Auf diesen Beitrag antworten »

ich versteh schon das man mit einer Ganzen zahl hier v multipliziert wieder eine ganze Zahl rauskommen muss aber was ich hier nur erkenne ist das es für (x,y) auch x*v geschrieben werden kann oder b*x aber dazwischen erkenne ich keinen zusammenhang auser dem x. Hammer
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe dein Problem nicht wirklich, unter anderem deswegen, weil du ziemlich kryptisch formulierst. Schreib mal bitte in klaren Sätzen, wo du ein Problem hast.
jaykop Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, Sorry. Ich versuche es jetzt dann nochmal.

Mein Problem ist eigentlich nur der letzte Schritt in der Musterlösung. Diese hier:

Zitat:

UND

UND


Da fehlt irgend wie noch ein zwischenschritt wo das deutlich wird das man mit der Variable "v" erweitern kann. Damit man das so machen kann muss ja vorher (nach meinem verständniss) irgend wie sowas hier gelten:

b*x = b*x*v
UND
x*v = b*x*v

dies sehe ich aber irgend wie nicht in den vorherigen Schritten.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jaykop
Damit man das so machen kann muss ja vorher (nach meinem verständniss) irgend wie sowas hier gelten:

b*x = b*x*v
UND
x*v = b*x*v


verwirrt wie soll denn sowas für ein allgemeines v und b gelten? Das ginge nur mit v=b=1.
jaykop Auf diesen Beitrag antworten »

ich gib es auf. Ich dachte die umformung nach x würde mein Problem erklären. Jetzt komme ich aber nur durcheinander. Ich weiß nicht welche gesetze hier angewendet wurde. naja Danke! trotzdem.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Es wird nur Multiplikation von ganzen Zahlen verwendet, nicht mehr.
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