Stetigkeit a.e.

03.02.2013, 17:48

pablosen

Stetigkeit a.e.

Guten Tag

Folgende Frage macht mir zu schaffen:

Sei B die Borel- $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ Algebra und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ das Lebesgue Mass. Betrachte den Massraum $\begin{eqnarray*} ({[0,\infty[},B,\lambda) \end{eqnarray*}$ . In der Vorlesung wurde gezeigt, dass mit $\begin{eqnarray*} \mu << \lambda \text{ sowie } \frac{d\mu}{d\lambda} \end{eqnarray*}$ stetig und $\begin{eqnarray*} f(x):=\mu([0,x]) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{d\mu}{d\lambda}(x) \text{ , } x\ge0 \end{eqnarray*}$ (*)

Begründe: Gilt (*) wenn $\begin{eqnarray*} \frac{d\mu}{d\lambda} \end{eqnarray*}$ nur $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ fast überall stetig?

Nun der Beweis ging ja am Schluss mit

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{1}{h}*\underbrace{\int_{{[x,x+h]}}|\frac{d\mu}{d\lambda}(y)-\frac{d\mu}{d\lambda}(x))|d\lambda(y)}_{\text{(**)}}< \lim_{h\to0}\frac{1}{h}*\int_{{[x,x+h]}} \epsilon d\lambda(y)=\lim_{h\to0} \epsilon=\epsilon \end{eqnarray*}$ weil eben

$\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \Rightarrow |\frac{d\mu}{d\lambda}(x))-\frac{d\mu}{d\lambda}(y))|<\epsilon \end{eqnarray*}$ und das h kleiner $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gewählt wurde.

Ich verstehe hier nicht, was fast-überall-Stetigkeit bedeutet bzw. wie hier diese Bedingung mit dem Epsilon zu verstehen ist und warum dies dann nicht gelten soll?

Sagen wir $\begin{eqnarray*} \frac{d\mu}{d\lambda} \end{eqnarray*}$ ist nicht stetig in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , dann ist obiges Integral (**) =0 da die Funktion nur auf einer Nullmenge nicht stetig ist, jedoch sehe ich nicht ein, warum das ganze dann gegen Null gehen soll da doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich geht für h gegen 0.

Weiss hier jemand bitte eine Erklärung?

Grüsse

04.02.2013, 18:33

pablosen

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Weiss hier niemand, warum das bei fast überall Stetigkeit folgt?

Grüsse

04.02.2013, 20:36

RavenOnJ

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RE: Stetigkeit a.e.

Zitat:

Original von pablosen
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to0}\frac{1}{h}*\underbrace{\int_{{[x,x+h]}}|\frac{d\mu}{d\lambda}(y)-{\color{red}\frac{d\lambda}{d\mu}}(x))|d\lambda(y)}_{\text{(**)}}< \lim_{h\to0}\frac{1}{h}*\int_{{[x,x+h]}} \epsilon d\lambda(y)=\lim_{h\to0} \epsilon=\epsilon \end{eqnarray*}$ weil eben

$\begin{eqnarray*} |x-y|<\delta \Rightarrow |{\color{red}\frac{d\lambda}{d\mu}(x))-\frac{d\lambda}{d\mu}}(y))|<\epsilon \end{eqnarray*}$ und das h kleiner $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gewählt wurde.

Muss es da nicht jeweils $\begin{eqnarray*} \frac{d\mu}{d\lambda} \end{eqnarray*}$ heißen?

04.02.2013, 23:35

pablosen

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Entschuldigung, jawohl, habe das ausgebessert.

Niemand eine Idee?

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Stetigkeit a.e.

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