Taylorpolynom

03.02.2013, 19:16

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Taylorpolynom

Meine Frage:
Folgende Aufgabe bereitet mir seit Stunden Kopfzerbrechen:

Sei $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} x \geq -1 \end{eqnarray*}$
a) bestimmen sie das Taylorpolynom 2. Grades T2 von f bzgl. des Entwicklungspunktes $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$

b) geben sie eine Fehlerabschätzung von $\begin{eqnarray*} | f(x)-T_{2}(x) | \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq x\leq 0.01 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu a)

1. Ableiten
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{1+x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^1(x)= \frac{1}{2\sqrt{1+x} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^2(x)=\frac{\frac{-1}{\sqrt{1+x}} }{\left(2\sqrt{1+x} \right)²} \end{eqnarray*}$ hier komme ich nicht weiter und um das Taylorpolynom zu ermitteln benötige ich ja die 2. Ableitung

bei b) hab ich keine Ahnung wie ich das angehen muss.

Kann mir jemand helfen?
Lieben Dank

03.02.2013, 19:24

Monoid

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RE: Taylorpolynom
Die 2. Ableitung ist falsch. Die Quotientenregel kannst du nicht anwenden.

Schreibe die 1. Ableitung als $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x+1}}=\frac{1}{2} (\sqrt{x+1})^{-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ und benutze " innere mal äüßere Ableitung ".

03.02.2013, 19:29

lgrizu

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RE: Taylorpolynom

Zitat:

Original von Monoid
Die 2. Ableitung ist falsch. Die Quotientenregel kannst du nicht anwenden.

Ohje, selbstredend kann man auch die Quotientenregel anwenden, und richtig ist die zweite Ableitung von Neuhier auch unglücklich

03.02.2013, 19:46

neu hier

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Könnt ihr mir vielleicht erklären, warum ich die Quotientenregel hier nicht anwenden kann?

Mit dem Tipp von Monoid hab ich es aber auch hinbekommen und mein Taylorpolynom lautet: $\begin{eqnarray*} 1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x² \end{eqnarray*}$

Übrigens super, dass ihr an einem Sonntagabend hier seit und so schnell antwortet. Habt ihr vielleicht auch noch einen Tipp, wie ich nun bei b) weitermache?

Lieben Dank

03.02.2013, 19:55

lgrizu

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Du hast meinen Post nicht gelesen, du kannst die Quotinetenregel anwenden und hast das auch erfolgriech getan, deine Ableitung ist richtig, es ist:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{-1}{\sqrt{1+x}}}{(2 \cdot \sqrt{1+x})^2}=\frac{-1}{4 \cdot (\sqrt{1+x})^2 \cdot \sqrt{1+x}}=-\frac{1}{4 \cdot (1+x)^{\frac{3}{2}}}=-\frac{1}{4} \cdot (1+x)^{-\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

Du hast also von vornherein alles richtig gerechnet!

Die Entwicklungsstelle soll $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ sein denke ich einmal, dann stimmt dein Taylorpolynom.

03.02.2013, 20:10

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Danke lgrizu für deine ausführliche Erläuterung. Freude

Hast du oder jemand anders noch nen Tipp, wie ich so eine Fehlerabschätzung angehe?

03.02.2013, 20:14

lgrizu

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Über eine Abschätzung des Restgliedes, beliebt ist wohl Lagrange, es ist $\begin{eqnarray*} R(x)=\frac{f^{n+1}( \epsilon)}{(n+1)!} \cdot (x-x_0)^{n+1} \end{eqnarray*}$

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