Volumenintegral

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kololo24 Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenintegral
Hallo miteinander,
ich habe folgende Aufgabe zu berechenen und es wäre nett, falls Ihr mir etwas unter die Arme greifen könntet.


Berechnen Sie das Volumen des Körpers



Folgendes Ergebnis habe ich bekommen:

mit

Rechnung:

dann habe ich gesetzt.
also bekomme ich



daraus folgerte ich


dann für die Grenzen von z:


Was haltet Ihr von meiner Rechnung?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt so nicht. Einsetzen von Ungleichungen in Ungleichungen läuft ja auf Abschätzen und damit Abschwächen der Bedingungen hinaus. Aus der Ungleichung darfst du auch keineswegs machen. Das ist eine weitere Abschwächung. So erfüllen etwa die letzten beiden Ungleichungen, aber keineswegs die davor.

Und so kann man es richtig machen.
Beide Ungleichungen lassen sich nach auflösen:



Wären nun die rechten Seiten dieser Ungleichungen negativ, so würden sie von keinem Paar erfüllt, denn stets ist . Damit es also Lösungen gibt, muß (zweite Ungleichung) und dann auch (erste Ungleichung) sein. Und damit steht das Integrationsintervall für fest: .
Nach Fubini hält man nun ein solches fest und integriert in Abhängigkeit von über alle , die beide Ungleichungen erfüllen. Da das Ungleichheitszeichen beide Male in dieselbe Richtung geht, kann man sie so zusammenfassen:



Jetzt muß man sich überlegen, welcher von beiden -Termen das Minimum bestimmt. Für ist das der Term , für der Term . (Um das zu sehen, betrachte hilfsweise die Funktionen und in einem zweidimensionalen -Koordinatensystem. Zunächst liegt die Gerade weiter unten, ab jedoch die Parabel.)

Und mit Fubini bekommst du nun für das Volumen die Beziehung



Jetzt ist man fast am Ziel. Die inneren Integrale haben die Form mit bzw. . Aus der Geometrie sollte man ihren Wert kennen.
kololo24 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
Das innere des Integrals ist doch nur der Flächeninhalt des Kreises, oder?
Der ist definiert als:


Demzufolge müsste also folgendes gelten:


Stimmt es?

Analog für das andere Integral:



Stimmt das?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beim zweiten Integral sind mehrere Fehler. Der erste ist schon beim Integrieren von passiert.
kololo24 Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich....

hier die korrigierte Version:


stimmt doch soweit, oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Fünf Sechstel? Und die Kreiszahl wird einfach so unterdrückt ...
 
 
kololo24 Auf diesen Beitrag antworten »


und nun? smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kololo24
und nun? smile



... ist es gut.
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