Schiefe einer symmetrischen Zufallsvariablen

03.02.2013, 20:44

Fehler

Schiefe einer symmetrischen Zufallsvariablen

Zu zeigen ist, dass symmetrisch verteilte Zufallsvariablen eine (Momenten-)Schiefe von Null haben. Es wird davon ausgegangen, dass die entsprechenden Momente existieren und endlich sind, so dass der Erwartungswert gleich dem Symmetriepunkt ist. Die Lösung die ich habe, scheint irgendwie nicht ganz richtig zu sein, und auch nach langem hin und her will sich bei mir kein Erfolg einstellen.

Ich habe soweit verstanden, dass man dazu zeigen muss, das der Zähler (das dritte zentrale Moment) gleich null ist, und dass man das Integral aufteilt in zwei Integrale die jeweils von minus unendlich bis My bzw. von My bis plus unendlich laufen. Jetzt wird y=(x-My)substituiert, so dass in beiden Integral y³*f(x) steht. Dann substituiert man in dem einen Integral t=-y und erhält, und nutzt die Beziehung aus dass wegen der Schiefe f(My-x) = f(My+x) gilt.

Heraus bekommt man ein Integral mit negativen Vorzeichen, und eins mit positivem, unter denen leider nur FAST das gleiche steht. Und genau das ist hier auch das Problem Augenzwinkern

Vielen Dank schonmal im Voraus, falls jemand helfen kann.

04.02.2013, 11:23

HAL 9000

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Zitat:

Original von Fehler
Heraus bekommt man ein Integral mit negativen Vorzeichen, und eins mit positivem, unter denen leider nur FAST das gleiche steht.

Hmm, nach Anwendung der Symmetriebeziehung steht GENAU der gleiche Wert da, sofern die Integrale (und damit das dritte Moment) überhaupt existieren. Oder wie meinst du das mit dem "FAST"? verwirrt

04.02.2013, 11:35

Fehler

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http://www.wiwi.uni-bielefeld.de/fileadm...n/symmetrie.pdf

Seite 9. Vorletzte Integralgleichung. Der Übergang von der vorletzten auf die letzte Gleichung ist mir unklar. Entweder man substituiert zurück, und da steht wieder +y weswegen die beiden Integrale zusammen nicht Null ergeben, oder man hat ein Integral mit t und eins mit y.

Mit zwei Integralen mit unterschiedlichen Vorzeichen, in denen quasi das gleiche steht - bis auf die Tatsache, dass y durch t ersetzt wurde - kann ich nichts anfangen, oder etwa doch?

04.02.2013, 11:44

HAL 9000

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Alle Integrale mit "gemischten $\begin{eqnarray*} y^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ " im PDF-File sind natürlich Unfug.

Mit Substitution $\begin{eqnarray*} t=x-\mu \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} E((X-\mu)^k) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} (x-\mu)^kf(x) ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} t^kf(\mu+t) ~ \dd t = \int\limits_{-\infty}^0 t^kf(\mu+t) ~ \dd t ~+~ \int\limits_0^{\infty} t^kf(\mu+t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} I_k := \int\limits_0^{\infty} t^kf(\mu+t) ~ \dd t \end{eqnarray*}$ und Substitution $\begin{eqnarray*} u=-t \end{eqnarray*}$ im ersten Teilintegral folgt weiter

$\begin{eqnarray*} E((X-\mu)^k) = \int\limits_0^{\infty} (-u)^kf(\mu-u) ~ \dd u + I_k \stackrel{s}{=} \int\limits_0^{\infty} (-1)^ku^kf(\mu+u) ~ \dd u + I_k = ((-1)^k+1) I_k \end{eqnarray*}$ .

Stelle $\begin{eqnarray*} \stackrel{s}{=} \end{eqnarray*}$ ist die einzige, die die Symmetrie der Verteilung nutzt.

04.02.2013, 11:59

Fehler

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Vielen Dank Gott

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} (-1)^ku^kf(\mu+u) ~ \dd u + I_k = ((-1)^k+1) I_k \end{eqnarray*}$ .

Das bereitet mir noch Probleme. Wenn ich u = -t einsetze habe ich doch wieder

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} (-1)^k(-t)^kf(\mu+t) ~ \dd u = (-1)^k(-1)I_k \end{eqnarray*}$ .

04.02.2013, 12:03

HAL 9000

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Nein, nichts mehr substituieren!!! Nur die $\begin{eqnarray*} (-1)^k \end{eqnarray*}$ herausziehen:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} (-1)^ku^kf(\mu+u) ~ \dd u = (-1)^k\int\limits_0^{\infty} u^kf(\mu+u) ~ \dd u \end{eqnarray*}$ .

Und ob die Integrationsvariable nun $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ heißt oder $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , ist wurst - das Integral rechts ist schlicht und einfach das oben definierte $\begin{eqnarray*} I_k \end{eqnarray*}$ , also steht da insgesamt $\begin{eqnarray*} (-1)^k I_k \end{eqnarray*}$

04.02.2013, 12:07

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Super

Danke für die Antwort. Das war genau das, was ich mit meiner ersten Frage meinte. Vielleicht hätte ich klarer formulieren sollen: Ist der Integrationsvariable egal wie sie heißt? Augenzwinkern

04.02.2013, 12:14

HAL 9000

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Ja, kann sein - diese falschen Mischintegrale mit $\begin{eqnarray*} y^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ im PDF-File haben mich nur so gestört, dass ich keinesfalls mehr Bezug nehmen wollte auf die ansonsten richtige Vorgehensweise dort.

04.02.2013, 12:21

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Ja das war in der Tat grober Unfug, der mich auch total verunsichert hat. Danke dass Du das aufgeklärt hast.

Die Musterlösung die mein Dozent dazu angefertigt hatte, sah allerdings noch schlimmer aus, die wollte ich nicht öffentlich posten, deswegen der Verweis auf das PDF.

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