Gleichungssysteme in Restklassenringen

17.02.2007, 16:54	munich	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssysteme in Restklassenringen Hi Leute, ich hab da noch eine kleine Frage: Ich hab folgende Gleichung im $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_7 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} 2x_1=5 \end{eqnarray}$ die will ich nun auflösen, das Problem ist: Wie ist das mit der Division, bzw. den Multiplikativ Inversen im $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_7 \end{eqnarray}$ ? Das ganze System basiert doch auf $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ , also kann ich doch eigentlich nicht wirklich teilen, oder wie ist das genau ? thx, munich
17.02.2007, 17:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
In $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_7 \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} 2x_1 = 5 = 12 \end{eqnarray}$ , und dann Division durch 2: $\begin{eqnarray} x_1 = 6 \end{eqnarray}$ .
17.02.2007, 17:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch, $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_7 \end{eqnarray}$ ist ein Körper, du kannst daher teilen. Du mußt nur wissen, was das Inverse von $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ ist. In $\begin{eqnarray} \mathbb{F}_7 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} 2 \cdot 4 = 1 \ \ \Leftrightarrow \ \ 2^{-1} = \frac{1}{2} = 4 \end{eqnarray}$ Denn in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ gilt ja: $\begin{eqnarray} 2 \cdot 4 = 8 \equiv 1 \ \operatorname{mod} \ 7 \end{eqnarray}$ Du mußt die Gleichung also mit $\begin{eqnarray} 4 \in \mathbb{F}_7 \end{eqnarray}$ durchmultiplizieren.
17.02.2007, 17:14	munich	Auf diesen Beitrag antworten »
ah, okay, logisch. habt ihr noch nen tipp wie ich mir das einfach und schnell herleite ? Soll ich mir überlegen mit was ich durchmultiplizieren muss, oder soll ich mir besser die feldertafel bzgl. der multiplikation zeichnen ? thx
17.02.2007, 17:38	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach mal alle Möglichkeiten durchprobieren. Für $\begin{eqnarray} \mathbb F_7 \end{eqnarray}$ sind das ja nur $\begin{eqnarray} 7 \end{eqnarray}$ Möglichkeiten

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