DGL-System mit nicht-Konstanten

04.02.2013, 11:48	Jazzy	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL-System mit nicht-Konstanten Meine Frage: Bestimmen Sie die Lösungsgesamtheit des DGL-Systems y'=A(x)y wobei $\begin{eqnarray} A(x) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ e^{-2x} & 1 \end{pmatrix} ,\left(x,y\right) \in U = \mathbb R X \mathbb R ^{2} \end{eqnarray}$ -------------------------- Allgemeines Vorgehen - DGL-System 1.Ordnung homogen: 1. Eigenwerte von A(x) berechnen: $\begin{eqnarray} det (A(x)-\lambda \cdot E) = 0 \end{eqnarray}$ 2. Mittels Eigenwerten Eigenvektoren berechnen: $\begin{eqnarray} \vec{v_{n} } = (A(x) - \lambda _{n} \cdot E )\cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 3. Lösungsgesamtheit: $\begin{eqnarray} \left\{ \vec{v_{1} }\cdot e^{\lambda _{1} \cdot x} , ... , \vec{v_{n} }\cdot e^{\lambda _{n} \cdot x} \right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: 1. Eigenwerte $\begin{eqnarray} det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 \\ e^{-2x} & 1-\lambda \end{pmatrix} = \left(2- \lambda \right)\cdot \left(1- \lambda \right)= 0<br /> \Rightarrow \lambda _{1} = 2 \vee \lambda _{2} = 1 \end{eqnarray}$ 2. Eigenvektoren Für $\begin{eqnarray} \lambda _{1} = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ e^{-2x} & 1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ e^{-2x} & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wähle $\begin{eqnarray} x_{1} = 1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} e^{-2x} - x_{2} = 0 \Rightarrow x_{2} = e^{-2x} \end{eqnarray}$ und damit: $\begin{eqnarray} \vec{v_{1}} = a\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ e^{-2x} \end{pmatrix} , a\in \mathbb R \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \lambda _{2} = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ e^{-2x} & 1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ e^{-2x} & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hier bin ich mir jetzt nicht ganz so sicher: $\begin{eqnarray} x_{1} = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ beliebig $\begin{eqnarray} \vec{v_{2} } = b \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} , b\in \mathbb R \end{eqnarray}$ Damit wäre meine Lösungsgesamtheit: $\begin{eqnarray} \left\{ a e^{2x} \begin{pmatrix} 1 \\ e^{-2x} \end{pmatrix}, b e^{x} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} a,b,x\in \mathbb R \end{eqnarray}$
05.02.2013, 18:32	Jazzy	Auf diesen Beitrag antworten »
könnte mir jemand mitteilen, wie ich vorgehen würde, wenn die x-Funktion in der Matrix nicht "verschwinden" würde..?

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