Konvergenzradius

04.02.2013, 12:28

MelinaSchwartz

Konvergenzradius

Meine Frage:
Hallo Leute bin neu smile

Ich soll den Konvergenzradius von x-x³/3+x^5/5-x^7/7+-

berechnen.

Meine Ideen:
Mh,

ich glaube es ist die Potenzreihe von sin(x)!?

Liege ich da richtig?

Was ist denn der Konvergenzradius von sin(x)?

Wenn ich beim Quotientenkriterium 1/0 oder 1/unendlich rausbekomme, was ist dann der Radius?

Hoffentlich hilft mir einer :/

danke smile

04.02.2013, 12:48

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius

Zitat:

Original von MelinaSchwartz
ich glaube es ist die Potenzreihe von sin(x)!?

Nein. Die sieht so aus: $\begin{eqnarray*} x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- ... \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MelinaSchwartz
Was ist denn der Konvergenzradius von sin(x)?

Unendlich. Soll sagen: die Potenzreihe für sin(x) konvergiert für jedes x. smile

Zitat:

Original von MelinaSchwartz
Wenn ich beim Quotientenkriterium 1/0 oder 1/unendlich rausbekomme, was ist dann der Radius?

Bitte präzisiere, was du da meinst.

04.02.2013, 13:55

MelinaSchwartz

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Was ist denn dann der Konvergenzradius dieser blöden Reihe Erstaunt2

1/roh = limes von an+1/an

wenn jetzt das roh unendlich oder 0 wird??!

04.02.2013, 14:11

klarsoweit

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Mit Latex könntest du deine Beiträge lesbarer gestalten: $\begin{eqnarray*} \frac 1 R = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \end{eqnarray*}$

Und warum reitest du auf den Spezialfällen unendlich und Null herum? Was ist denn der Radius bei diesem Beispiel?

04.02.2013, 14:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von MelinaSchwartz
ich glaube es ist die Potenzreihe von sin(x)!?

Sieht eher nach $\begin{eqnarray*} \arctan(x) \end{eqnarray*}$ aus.

04.02.2013, 14:23

MelinaSchwartz

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weil diese spezialfälle doch was mit der sinusfkt zu tun haben?!

das muss ich leider auch wissen....

ich komme bei der reihe dann auf $\begin{eqnarray*} (\frac{-x³}{3}+1) / \frac{-x³}{3} \end{eqnarray*}$

der betrag vom limes ist dann 1

somit konvergiert die reihe nicht?!

04.02.2013, 14:31

klarsoweit

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Du hast erstmal ein Problem, das a_n richtig zu identifizieren. Bei einer Potenzreihe ist das der Faktor vor dem x^n.

04.02.2013, 14:40

MelinaSchwartz

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also nochmal:

(\frac{-1}{3}+1 )/\frac{-1}{3} = \frac{2}{3} / \frac{-1}{3} = -2

passt das so smile

04.02.2013, 15:05

MelinaSchwartz

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$\begin{eqnarray*} (\frac{-1}{3}+1 )/\frac{-1}{3} = \frac{2}{3} / \frac{-1}{3} = -2 \end{eqnarray*}$

04.02.2013, 15:16

klarsoweit

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Also ich versteh beim besten Willen nicht, was du da rechnest.

Schreib doch mal die Faktoren vor den x-Potenzen der Reihe nach hin. Diese bilden deine Folge a_n. Erkennst du ggf. ein Bildungsgsetz?

04.02.2013, 15:31

MelinaSchwartz

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(-1)^n * x^n/(2n+1)

?!

05.02.2013, 10:47

Melanie90

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hat keiner eine Idee :/

05.02.2013, 11:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von MelinaSchwartz
(-1)^n * x^n/(2n+1)

Ich hatte ausdrücklich gesagt "die Faktoren vor den x-Potenzen" .

Also dieses: $\begin{eqnarray*} \frac{(-1)^n}{2n+1} \end{eqnarray*}$

Darauf kannst du nun die Formel für den Konvergenzradius loslassen.

Und die Bitte, Latex zu verwenden, ist kein Scherz. Je lesbarer deiner Beiträge sind, desto eher bekommst du auch Hilfe.

05.02.2013, 14:01

Melanie90

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Sry, ich verstehs halt nicht sooo leicht... unglücklich

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(-1)^{n+1}/(2n+2)}{(-1)^{n}/(2n+1)} \end{eqnarray*}$

so? Erstaunt2

05.02.2013, 14:48

klarsoweit

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Genau.

06.02.2013, 13:05

Melanie90

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to } \frac{(-1)^{n+1} * (2n+2)}{(-1)^{n} * (2n+1)} = 1/roh \end{eqnarray*}$

(2n+2) gewinnt gegen (2n+1) um 1 also = 2/1

und -1 bleibt beim anderen Term stehen

Ergebnis = roh=-2

06.02.2013, 13:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Melanie90
(2n+2) gewinnt gegen (2n+1) um 1 also = 2/1

Unfug. Denk da nochmal drüber nach.

Außerdem mußt du von dem ganzen Bruch den Betrag nehmen. Beim Konvergenzradius muß ja was positives rauskommen.

06.02.2013, 13:21

Melanie90

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$\begin{eqnarray*} \infty+2 /\ infty+1 \end{eqnarray*}$

wird der 1 mehr vernachlässigbar ... also 1

Bei dem Faktor wärs aber die 2?! $\begin{eqnarray*} 2*\infty /\infty \end{eqnarray*}$

Roh ist somit= Betrag von -1 also 1

06.02.2013, 13:30

klarsoweit

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Zitat:

Original von Melanie90
$\begin{eqnarray*} \infty+2 /\ infty+1 \end{eqnarray*}$

wird der 1 mehr vernachlässigbar ... also 1

Bei dem Faktor wärs aber die 2?! $\begin{eqnarray*} 2*\infty /\infty \end{eqnarray*}$

Wir sollten uns jetzt mal darauf verständigen, wie man formal ordentlich den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \frac{2n+2}{2n+1} \end{eqnarray*}$ bestimmt.

Diese Rechnerei mit "unendlich" ist einfach nur hanebüchen.

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