Ungleichung mit natürlichem Logarithmus lösen

04.02.2013, 12:34

zaful

Ungleichung mit natürlichem Logarithmus lösen

Meine Frage:
Hallo,

ich möchte folgendes lösen:

$\begin{eqnarray*} e^{2x} < 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x < ln(5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x > ln(5) \end{eqnarray*}$

Welches davon ist nun richtig?

Meine Ideen:
Ich glaube, wenn man den Logarithmus zieht auf beiden Seiten, dann dreht sich das Zeichen, deswegen glaube ich, dass $\begin{eqnarray*} 2x > ln(5) \end{eqnarray*}$
richtig ist, bin mir aber nicht sicher.

Noch eine Frage:
Wenn ich x²-2x-5 > 0 habe und dann die PQ Formel anwenden möchte, ändert sich dann das > Zeichen oder bleibt es gleich?

04.02.2013, 12:53

klarsoweit

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RE: Ungleichung mit natürlichem Logarithmus lösen

Zitat:

Original von zaful
Ich glaube, wenn man den Logarithmus zieht auf beiden Seiten, dann dreht sich das Zeichen, deswegen glaube ich, dass $\begin{eqnarray*} 2x > ln(5) \end{eqnarray*}$
richtig ist, bin mir aber nicht sicher.

Da liegst du falsch. Der natürliche Logarithmus ist monoton steigend. Es gilt also: 0 < a < b ==> ln(a) < ln(b) smile

Zitat:

Original von zaful
Wenn ich x²-2x-5 > 0 habe und dann die PQ Formel anwenden möchte, ändert sich dann das > Zeichen oder bleibt es gleich?

Die pq-Formel ist zur Bestimmung von Nullstellen gedacht und läßt sich nicht ohne weiteres auf Ungleichungen anwenden. Du kannst aber mit den Nullstellen die linke Seite faktorisieren. Das hilft dann bei der Lösung der Ungleichung.

04.02.2013, 19:14

zaful

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Also ich kenne mich nicht so gut damit aus. Ich weiß nur, dass wenn man mit etwas negativem dividiert, sich das Zeichen umdreht. Warum das so ist, weiß ich nicht.
Deinem Beitrag entnehme ich, dass wenn ich den Logarithmus auf beiden Seiten ziehe, sich das Zeichen nicht verändert und dass man die PQ Formel bei Ungleichungen nicht benutzen darf. Ich hatte beides einfach mal gemacht und kam sogar auf die richtige Lösung. Nur das Zeichen war falsch herum.

Hiermal die eigentliche Aufgabe:

Ungleichung

$\begin{eqnarray*} 2,5*(0,02*e^{0,02x}-0,02*e^{-0,02x} ) < 0,2 \end{eqnarray*}$

Mein Rechenweg

$\begin{eqnarray*} 2,5*(0,02*e^{0,02x}-0,02*e^{-0,02x} ) < 0,2 \end{eqnarray*}$

| : 2,5
| : 0,02

$\begin{eqnarray*} e^{0,02x}-e^{-0,02x} < 4 \end{eqnarray*}$

Substituiere mit $\begin{eqnarray*} u = e^{0,02x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u-u^{-1} < 4 \end{eqnarray*}$

| - 4
| * u

$\begin{eqnarray*} u^2 - 4u -1 < 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. PQ-Formel ist ja nicht erlaubt. Soll ich es mit der quadratischen Ergänzung versuchen?

05.02.2013, 08:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von zaful
Ich weiß nur, dass wenn man mit etwas negativem dividiert, sich das Zeichen umdreht. Warum das so ist, weiß ich nicht.

Mit einem kleinen Beispiel kannst du dir das verdeutlichen:
Es ist 2 < 5 . Jetzt dividieren wir durch -1. Lassen wir das Ungleichheitszeichen so stehen, haben wir: -2 < -5 . Nanu, das ist aber falsch. Also muß man das Zeichen umdrehen: -2 > -5 .

Zitat:

Original von zaful
Ich hatte beides einfach mal gemacht und kam sogar auf die richtige Lösung. Nur das Zeichen war falsch herum.

Das ist die Lösung der Euro-Krise!!! Wenn -1000000 genau so richtig ist wie 1000000, das sind wir mit einem Schlag alle Schulden los. Big Laugh

Zitat:

Original von zaful
PQ-Formel ist ja nicht erlaubt. Soll ich es mit der quadratischen Ergänzung versuchen?

Im Prinzip ja oder mit der pq-Formel die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} u^2 - 4u -1 \end{eqnarray*}$ bestimmen. Wenn der Term die Nullstellen u_1 und u_2 hat, dann gilt:
$\begin{eqnarray*} u^2 - 4u -1 = (u - u_1) \cdot (u - u_2) \end{eqnarray*}$ smile

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