Konvergenz einer rekursiven Folge

04.02.2013, 13:18	Maisinator	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer rekursiven Folge Hallo, ich habe folgende rekursive Folge gegeben: $\begin{eqnarray} a_{1}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\frac{a_{n}^2+3}{4} \end{eqnarray}$ und soll diese auf Konvergenz überprüfen. Bis jetzt habe ich folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} a_{2}=\frac{13}{16}, a_{3}=\frac{937}{1024} \end{eqnarray}$ und daraus geschlossen: $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ konvergiert mit $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } a_n=1 \end{eqnarray}$ und ist monoton wachsend, also $\begin{eqnarray} a_{n} \leq a_{n+1}\leq 1 \end{eqnarray}$ Nun habe ich mich an den Beweis per Induktion gemacht: *Beweis für $\begin{eqnarray} a_{n} \leq 1 \end{eqnarray}$ :* $\begin{eqnarray} a_{1}=\frac{1}{2} \leq 1 \end{eqnarray}$ Stimmt. $\begin{eqnarray} n->n+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{a_{n}^2 +3}{4} \leq 1 \end{eqnarray}$ Nach $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ umformen ergibt: $\begin{eqnarray} a_n \leq 1 \end{eqnarray}$ Stimmt also auch. *Beweis für $\begin{eqnarray} a_n\leq a_{n+1} \end{eqnarray}$ :* $\begin{eqnarray} a_{1} =\frac{1}{2} \leq \frac{13}{16}=a_{2} \end{eqnarray}$ Stimmt. $\begin{eqnarray} n->n+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{a_{n}^2 +3}{4}\leq \frac{a_{n+1}^2 +3}{4}=a_{n+2} \end{eqnarray}$ Nach folgenden Operationen $\begin{eqnarray} \|4, \|-3, \|\sqrt{ }(Wurzel) \end{eqnarray}$ erhalte ich $\begin{eqnarray} a_{n} \leq a_{n+1} \end{eqnarray}$ Stimmt also auch. Also habe ich bewiesen, dass die Folge monoton wachsend ist und gegen 1 konvergiert. Jetzt zu meiner Frage: Wenn ich den allgemeinen Induktionsschritt vollführe, darf ich dann so umformen wie ich es gemacht habe? In der Übung haben wir das nämlich nicht gemacht sondern einfach gesagt: "Wenn $\begin{eqnarray} a_n \leq 1 \end{eqnarray}$ und ich es in den Induktionsschritt $\begin{eqnarray} a_{n+1}=\frac{a_{n}^2 +3}{4} \leq 1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ einsetzte und etwas wahres rauskommt (in dem Fall $\begin{eqnarray} 1\leq 1 \end{eqnarray}$ ), dann stimmt das auch für $\begin{eqnarray} n+1 \end{eqnarray*}$ " Ich finde meine Variante aber irgendwie nachvollziehbarer, bin mir aber nicht sicher, ob ich das so schreiben/umformen darf bei der Induktion

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