Oberflächenintegral?

17.02.2007, 17:54

Niki_

Oberflächenintegral?

gefragt ist für die Berechnung der Oberfläche einer Kuppel das Bereichsintegral (als Mehrfachintegral)

$\begin{eqnarray*} \int_{b}^{a}\int_{y(u)}^{y(o)}\int_{z(u)}^{z(o)}~~dzdydx \end{eqnarray*}$

das ist das Integral für die Volumenberechnung wie aber sieht es nur für die Oberflächenberechnung einer "Kuppel" aus? Muss doch ähnlich sein

17.02.2007, 18:03

Leopold

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Wenn du eine differenzierbare Parameterdarstellung für die Oberfläche über einem meßbaren Bereich $\begin{eqnarray*} B \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ hast:

$\begin{eqnarray*} \varphi: \ \ (u,v) \mapsto (x,y,z)= \varphi(u,v) \end{eqnarray*}$

dann bekommst du die Oberfläche durch

$\begin{eqnarray*} A = \int_B~\left| \frac{\partial{\varphi}}{\partial{u}} \times \frac{\partial{\varphi}}{\partial{v}} \right|~\mathrm{d}(u,v) \end{eqnarray*}$

Das Kreuz bezeichnet das Vektorprodukt des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , die Striche den gewöhnlichen euklidischen Betrag.

17.02.2007, 18:07

Niki_

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Damit kannn ich irgentwie nichts Anfangen, wir sollen es auch als Mehrfachintegral darstellen

17.02.2007, 18:24

Leopold

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Das ist doch ein Mehrfachintegral! Und zwar in zwei Variablen $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ . Das muß ja auch so sein, schließlich ist eine Oberfläche etwas Zweidimensionales.

17.02.2007, 18:34

Leopold

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Wenn du dich auf die Kuppel in diesem Strang beziehst, dann kannst du ja wegen $\begin{eqnarray*} z = f(x,y) \end{eqnarray*}$ die Variablen $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ selbst als Parameter nehmen:

$\begin{eqnarray*} \varphi: \ \ (x,y) \mapsto \begin{pmatrix} x \\ y \\ f(x,y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du mußt die Formel jetzt nur für diesen Spezialfall anwenden.

17.02.2007, 18:47

Niki_

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ja ich beziehe mich da drauf, kannst du mir trotzdem noch weiter helfen?
(wenn ich einmal gesehen habe wie es geht dann kann ich es auch) verwirrt

17.02.2007, 20:19

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \frac{\partial{\varphi}}{\partial{x}} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hilft das?

Für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ dann das Analoge. Dann Kreuzprodukt. Dann Betrag. Dann integrieren.

17.02.2007, 23:54

Niki_

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Zitat:

Original von Leopold

Hilft das?

Leider nicht unglücklich

18.02.2007, 14:17

Leopold

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$\begin{eqnarray*} \varphi: \ \ (x,y) \mapsto \begin{pmatrix} x \\ y \\ f(x,y) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für partielle Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ hänge ich die entsprechende Variable als Index an: $\begin{eqnarray*} f_x = \frac{\partial{f}}{\partial{x}} \end{eqnarray*}$ usw. Dann gilt

$\begin{eqnarray*} \varphi_x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_x \end{pmatrix} \, , \ \ \varphi_y = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi_x \times \varphi_y = \begin{pmatrix} -f_x \\ -f_y \\ 1 \end{pmatrix} \, , \ \ \left| \, \varphi_x \times \varphi_y \, \right| \ = \ \sqrt{1 + \left( f_x \right)^2 + \left( f_y \right)^2} \end{eqnarray*}$

Der Inhalt der durch $\begin{eqnarray*} z = f(x,y) \end{eqnarray*}$ beschriebenen Fläche über dem Bereich $\begin{eqnarray*} B \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ist also

$\begin{eqnarray*} \int_B~\sqrt{1 + \left( f_x \right)^2 + \left( f_y \right)^2}~\mathrm{d}(x,y) \end{eqnarray*}$

18.02.2007, 16:01

Niki_

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Zitat:

Original von Leopold

Hilft das?

Leider nicht

18.02.2007, 18:43

Leopold

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@ alle

Was soll ich denn noch tun?

18.02.2007, 18:54

Niki_

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die Grundfläche ist geg mit. der Kurve $\begin{eqnarray*} f(x)=4x^{2} - x^{3} \end{eqnarray*}$
und der Geraden $\begin{eqnarray*} y=4-x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1\leq x\leq 4 \end{eqnarray*}$
die Oberflächenfunktion ist geg. mit
$\begin{eqnarray*} z=12+0,1x+0,3y-0,02x^{2}-0,008y^{2} \end{eqnarray*}$

hm und das dann irgentwie verpacken, ich habe das noch nie gemacht und kann es mir bis jetzt auch nicht vorstellen geschockt

18.02.2007, 19:46

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Zitat:

Original von Leopold
@ alle

Was soll ich denn noch tun?

Schwer zu sagen, wo du doch die explizite Formel

$\begin{eqnarray*} \int_B~\sqrt{1 + \left( f_x \right)^2 + \left( f_y \right)^2}~\mathrm{d}(x,y) \end{eqnarray*}$

angegeben hast und nur noch eingesetzt werden muss.

18.02.2007, 20:06

Niki_

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ich weiß kann damit irgentwie nicht anfangen, kann sich nicht erbarmen.-heul-

18.02.2007, 20:08

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Warum berechnest du nicht einfach die partiellen Ableitungen $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ und setzt sie in die fertige Formel mal ein. Wir sind hier im Hochschulbereich des Forums, oder hab ich mich verguckt?

18.02.2007, 20:33

Niki_

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$\begin{eqnarray*} \int_B~\sqrt{1 + \left( \frac{1}{10}- \frac{x}{25} \right)^2 + \left( \frac{3}{10}- \frac{4y}{25} \right)^2}~\mathrm{d}(x,y) \end{eqnarray*}$

18.02.2007, 20:41

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Ich zitiere mal aus Kuppel Funktion :

Zitat:

Original von Calvin
Die Umrechnung von Kommazahlen in Brüche ist bei dir nicht richtig.

$\begin{eqnarray*} 0{,}016=\frac{16}{1000}\neq \frac{4}{25} \end{eqnarray*}$

Warum wärmst du alte Fehler wieder auf?

Ansonsten stimmt es aber. Jetzt brauchst du noch einen Integrationsbereich und kannst das Integral ausrechnen.

18.02.2007, 20:54

Niki_

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[

18.02.2007, 20:57

Niki_

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$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{4}\int_{4-x}^{4x^2-x^3} \sqrt{1 + \left( \frac{1}{10}- \frac{x}{25} \right)^2 + \left( \frac{3}{10}- \frac{4y}{125} \right)^2}~\mathrm{d}(x,y) \end{eqnarray*}$

18.02.2007, 21:02

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$\begin{eqnarray*} f(x,y) = 12 + 0.1x + 0.3y - 0.02x^2 - 0.008y^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_y = 0.3 - 0.016y = \frac{3}{10} - \frac{2}{125}y \end{eqnarray*}$

18.02.2007, 21:22

Niki_

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hmja

tschuldigung, Tipfehler, stimmen sie Grenzen eingesezt?

18.02.2007, 21:26

Niki_

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$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{4}\int_{4-x}^{4x^2-x^3} (12+0,1x+0,3y-0,02x^2-0,008y^2) {d}(x,y) \end{eqnarray*}$

warum ist das nicht möglich?

18.02.2007, 21:27

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Ja, die Grenzen stimmen.

P.S.: Drohsmilies wie böse

finde ich reichlich deplatziert, wenn man auf Rechenfehler aufmerksam gemacht wird. unglücklich

Zitat:

Original von Niki_
$\begin{eqnarray*} \int_{1}^{4}\int_{4-x}^{4x^2-x^3} (12+0,1x+0,3y-0,02x^2-0,008y^2) {d}(x,y) \end{eqnarray*}$

warum ist das nicht möglich?

Weil Volumen und Oberfläche nicht dasselbe sind. Fangen wir jetzt nochmal von vorn an??? geschockt

19.02.2007, 08:53

Niki_

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das war kein Drohsmilie sondern weil ich auf mich selbst sauer bin wegen der andauernden Schusselfehler, Sorry wenn du es falsch verstanden hast Wink

21.02.2007, 01:07

Matze K

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Vielen Dank Ihr Süßen
Ich liebe euch beide weil Ihr mit eurem wunderschönen Forum mein Problem gelöst habt!
Hallo Niki.Jetzt dürfte die Matheprüfung bei Herrn Wittig ja kein Problem mehr darstellen.
Vielen Dank an Arthur Dent,der die Mathematik so wunderbar lesen kann.
Das ganze habe ich auch gefunden unter "Flächentheorie im euklidischen Raum".Aber nirgends eine so schöne ausführliche Erklärung.
Danke an alle Mathe Freaks.
Mathe ist die Sprache der Welt und jeder anderen Naturwissenschaft.

P.S.Niki es waren -0,08y^2 und nicht 0,008^2

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