Dichtefunktion der Lognormalverteilung

04.02.2013, 15:07

Fehler

Dichtefunktion der Lognormalverteilung

Wie kann ich von der Dichte der Normalverteilung auf die der Lognormalverteilung schließen? Ich weiß dass der Logarithmus einer Lognormalverteilten Zufallsvariable normalverteilt ist, also:

X ~ LN(a,b²) => Y = ln(X) ~ N(a,b²)

Also müsste ich bei der Normalverteilung einfach x durch ln(x) ersetzen und schon hätte ich eine lognormalverteilte Zufallsvariable. Wenn ich das aber auf die Dichte anwende, habe ich zusätzlich 1/x als Faktor vor der Dichte. Woher kommt das 1/x im Faktor? Ist das, weil man das ln(x) in die Verteilungsfunktion der Normalverteilung einsetzt und dann beim (theoretischen) Ableiten durch Anwendung der Kettenregel die Ableitung von ln(x) als Faktor davorzieht?

Dichte der Normalverteilung:
$\begin{eqnarray*} f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma} \right) ^2 \right] \end{eqnarray*}$ .

Dichte der Lognormalverteilung:
$\begin{eqnarray*} f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}x}\exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{ln(x) - \mu}{\sigma} \right) ^2 \right] \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank schonmal im Vorraus!

04.02.2013, 15:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von Fehler
Woher kommt das 1/x im Faktor? Ist das, weil man das ln(x) in die Verteilungsfunktion der Normalverteilung einsetzt und dann beim (theoretischen) Ableiten durch Anwendung der Kettenregel die Ableitung von ln(x) als Faktor davorzieht?

Kurzum: Ja!

Etwas ausführlicher:

$\begin{eqnarray*} X\sim \mathcal{LN}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} \ln(X)\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ , daher gilt die Verteilungsfunktion der Lognormalverteilung im Fall $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} F_X(x) = P(X\leq x) = P(\ln(X)\leq \ln(x) = F_{\ln(X)}(\ln(x)) = \Phi\left( \frac{\ln(x)-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$ ,

dabei sei mit $\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ wie üblich die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Und nun nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableiten, unter Beachtung der Kettenregel.

04.02.2013, 15:35

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