ein Randpunkt einer Menge ist immer auch ein Häufungspunkt der Menge. richtig/falsch? |
| 04.02.2013, 17:04 | Zuppi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| ein Randpunkt einer Menge ist immer auch ein Häufungspunkt der Menge. richtig/falsch? Hallo, ich soll herausfinden, ob folgende Aussage richtig oder falsch ist: Ein Randpunkt einer Menge, ist immer auch ein Häufungspunkt dieser Menge. Meine Ideen: Ich hatte erst überlegt, hier mit "Nein" zu antworten. Der Rand "begrenzt" zwar die Menge, das muss aber ja nicht heißen, dass unendlich viele Folgenglieder in einer Epsilonumgebung eines Randpunktes liegen. (Es genügt ja einen Randpunkt zu betrachten, die Überlegung geht dann für alle Randpunkte analog). Aber was mir zu denken gibt, ist dass ja in der epsilon-Umgebung immer noch andere Randpunkte liegen, und wenn ich einen dichten Raum habe, finde ich dort immer unendlich viele Randpunkte, was bedeuten würde, dass die Aussage doch richtig ist.. Ich bin mir also unsicher, was hier gilt. Freue mich über jede Hilfe. Zuppi |
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| 04.02.2013, 17:32 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: ein Randpunkt einer Menge ist immer auch ein Häufungspunkt der Menge. richtig/falsch? Das Stichwort lautet "isolierter Punkt". |
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| 04.02.2013, 18:48 | Zuppi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es gilt: "In der Topologie ist ein Element a einer Menge X ein isolierter Punkt, wenn es eine Umgebung von a gibt, in der (außer a) keine weiteren Elemente von X liegen. Ein Punkt ist also genau dann isoliert, wenn a kein Häufungspunkt von X ist." Wenn ich nun die Kontraposition verwende: Sei also der Randpunkt kein Häufungspunkt der Menge X. Dann ist a isoliert. das heißt, es gibt eine Umgebung von a in der (außer a) keine weiteren Elemente von X liegen. Daraus folgt, dass a kein Randpunkt der Menge X sein kann, weil ein Randpunkt gerade dadurch charakterisiert ist, dass in einer Umgebung sowohl innere als auch äußere Elemente liegen, hier liegen aber keine weiteren Elemente in der Umgebung. Stimmt das so? |
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| 04.02.2013, 19:31 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich "innere" und "äußere" Elemente richtig interpretiere, ist obiges doch aber der Fall... |
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